Darstellung von Funktion die im R³ verläuft

[noRkia]

ich hab mir folgendes überlegt:

angenommen ich habe eine quadratischefunktion (wie wir sie aus der 10-12 klasse kennen)
und zeichne diese wie gewohnt ein.dann liegt diese funktion in der x1/x2-ebene.
was aber wenn der graph auch noch in die tiefe gehen soll also auf der 3tten koordinaten achse nicht über all 0 als koordinate hat?

welcher teil der mathematik befasst sich mit dem problem?
lineare algebra kenn ich,habe also gedacht es wäre (ja lacht ruhig)die quadratische algebra :D find ich natürlich nix zu.
klar das man diesen kram nur im studium macht aber ich würds mir zu gerne mal reinziehen.hat jemand links dazu?
das ich in unserer schulbibliothek nicht viel schlauer geworden bin überrascht mich nicht.

bin nicht ganz so doof wie es jetzt wirkt.bei interesse präsentiere ich gerne meine lösungsansätze *chaos* ^ ^

[zinsl]

Du musst einfach statt einer "normalen" Funktion einfach eine Scharfunktion nehmen.
In deinem R³-Koordinatensystem gibt's dann einfach eine 3. Achse, z.b. die a-Achse (wenn du a als Parameter in der Funktion genommen hast).

Beispiel:
y(x,a)=x²+a
oder mit x1, x2, x3 geschrieben:
x2=(x1)²+x3

Ich hoffe, dass das einigermaßen logisch erscheint :)

zinsl

[Jinjukei]

Das was alle in der 10-12 Klasse machen ist eher Analysis und nur sehr gering (Lineare) Algebra. Und mit mehreren Dimensionen unterhält dich dann die "mehrdimensionale Analysis" (Ist grad mein Prüfungsthema btw^^).

Ansonsten hat dir zinsl eigentlich ja schon ein Beispiel gezeigt. Graphisch anzeigen kannst du sowas mit mathlab. Gibt etliche PDF-Files im Internet. Ansonsten hab ich gerade die folgenden Bücher ausgeliehen:

Heuser Analysis 2 (beste Buch finde ich)
Barner Analysis 2
Bröcker Ana 2


Falls Fragen hast: Nur her damit ^^

[noRkia]

hm
die version von mathlab die ich hier habe ist ähm nicht ganz so einfach zu bedienen ^ ^

mein ansatz war folgender:

die funktionen die man immer so in der 10ten behandelt sind eigentlich ein sonderfall
da sie in der x1/x2 ebene verlaufen
das heisst das die funktion in die x1/x3 ebene projeziert nur ein strich ist.

wenn die funktion aber kreuz und quer durch den raum geht dann erhält man bei der projektion in die x1/x3 ebene also auch eine weitere funktion.

nämlich zb. a(x) = x³-2x+5
das heisst man erhält für jeden xwert einen wert auf der 3tten koordinatenachse.
das selbe auch in der x1/x2 ebene in der der graph eine andere funktion haben kann zb.
f(x)= 6x²+x+9

nun hab ich ein bisschen an der parameter darstellung einer ebene rumgedokort und einfach alles eingesetzt (für vekor schreibe ich ein V und das * ist keine skalarmultiplikation sondern eine "normale" multiplikation) wobei die 3 vektoren

Vv Vw Vz die richtungen der koordinatienachsen haben und jeweils bei 2 koordinaten 0 und bei einer 1 haben. also (1/0/0) (0/1/0) (0/0/1)

nun:

x: ( lambda * Vv) + (my * Vw) + (ny * Vz)

lambda ist x aus den gleichungen.
my ist y also f(x)
und ny ist z also a(x)
nun müssen my und ny nur noch in lambdas umgeformt werden sodass sich dann als gleichung folgendes ergibt:

x: (x* Vv) + ((6x²+x+9)*Vw) + ((x³-2x+5) Vz)


tadaaaa

ist das etwas falsch?für mich sieht es ziemlich richtig aus ^ ^

[Todestribunal]

Trivial.

[Jinjukei]

hm
die version von mathlab die ich hier habe ist ähm nicht ganz so einfach zu bedienen ^ ^

Ja, Mathlab ist nicht ganz so einfach wie andere Programme ^^.

mein ansatz war folgender:

die funktionen die man immer so in der 10ten behandelt sind eigentlich ein sonderfall
da sie in der x1/x2 ebene verlaufen
das heisst das die funktion in die x1/x3 ebene projeziert nur ein strich ist.

Sagen wir einfacher, dass die Graphen sind zweidimensional sind. Und zum 2.: Ja, richtig, wenn die Funktion halt stetig ist.
Eine stetige Funktion sieht dann so aus als ob man ein Intervall der x1 bzw. x2 Achse (so wie du es dir halt bildlich vorgestellt hast - bei mir izeigt die x_3-Achse immer in die Bildebene hinein und die x_1-Achse nach rechts) auf die x_3-Achse abbilden lässt (mathematisch nennt man sowas deswegen auch Projektion). Beziehungweise das Intervall der x_1-Achse (bzw. x2) mit der x_3-Achse schneiden lässt.


wenn die funktion aber kreuz und quer durch den raum geht dann erhält man bei der projektion in die x1/x3 ebene also auch eine weitere funktion.

nämlich zb. a(x) = x³-2x+5
das heisst man erhält für jeden xwert einen wert auf der 3tten koordinatenachse.

Ja, zB . sei dann die Funktion a mit a(x_2,x_1) = x_1³-2x_1+5+7x_2 mit eben x_2=0. Dann hast du deine Projektrion a(0,x_1)=x_3.


das selbe auch in der x1/x2 ebene in der der graph eine andere funktion haben kann zb.
f(x)= 6x²+x+9

..bezogen auf a wärs a(x_2,x_1) = 0


nun hab ich ein bisschen an der parameter darstellung einer ebene rumgedokort und einfach alles eingesetzt (für vekor schreibe ich ein V und das * ist keine skalarmultiplikation sondern eine "normale" multiplikation) wobei die 3 vektoren

Vv Vw Vz die richtungen der koordinatienachsen haben und jeweils bei 2 koordinaten 0 und bei einer 1 haben. also (1/0/0) (0/1/0) (0/0/1)

also sind v,w,z Skalare - sowas heisst dann nicht "normale" Multiplikation sondern Skalarmulti. ;) - und die Vektoren bilden die kanonische Basis. Aber warum schreibst du "w Koordinaten" wenn sie 3 besitzen... Und was soll dann v,w,z für ein Zweck haben?


nun:

x: ( lambda * Vv) + (my * Vw) + (ny * Vz)

lambda ist x aus den gleichungen.
my ist y also f(x)
und ny ist z also a(x)
nun müssen my und ny nur noch in lambdas umgeformt werden sodass sich dann als gleichung folgendes ergibt:

x: (x* Vv) + ((6x²+x+9)*Vw) + ((x³-2x+5) Vz)


tadaaaa

ist das etwas falsch?für mich sieht es ziemlich richtig aus ^ ^
Erstens musst du ja wissen, was das für ein x ist. Oder ist hier bei dir x ein Vektor mit x_1,x_2? Und du musst sagen was m und n ist!? Bzw. was ist auf einmal y (hast du davor nicht einmal verwendet)?

Und soll das am schluss einfach bedeuten, das du zwei Projektionen sozusagen addierst um damit die Funktion a wieder zu erhalten? *verwirrt* egal hab grad zuwenig zeit dafür sry

[noRkia]

hm ich hätte vieleicht keien besipeilgleichungen einbauen sollen,Todestribunal scheint es ja zu verstehen :D

nein die vektoren die ich v,w,z genannt hab werden nicht skalarmultipliziert sondern nur verfielfacht.jede komponente wird also mit zb. lambda mal genommen.

"Erstens musst du ja wissen, was das für ein x ist. Oder ist hier bei dir x ein Vektor mit x_1,x_2? Und du musst sagen was m und n ist!? Bzw. was ist auf einmal y (hast du davor nicht einmal verwendet)?

Und soll das am schluss einfach bedeuten, das du zwei Projektionen sozusagen addierst um damit die Funktion a wieder zu erhalten? *verwirrt* egal hab grad zuwenig zeit dafür sry"

das hast du falsch verstanden.

wir haben als wir ebengleichungen aufgestellt haben immer
x: stützvektor + lambda mal 1richtungsvektor + my mal 2richtungsvektor
geschrieben.

da wir aber keine ebene sondern einen graph im raum beschreiben wollen braucht man noch einen 3tten richtingsvektor der auch mit einem anderen paramter ( ny) verfielfacht werden müsste.
der stützvektor fällt weg bzw. ist einfach der ortsvektor des ursprungs also der nullvektor.
die 3 richtunsgvektoren gehen in richtung der koordinaten achsen und müssen nur alle die selbe länge haben.

dann sieht die gleichung für eine gerade die durch den raum geht und eine steigung von 1 hat folgendermassen aus:

x: lambda mal 1richtungsvektor + my mal 2richtungsvektor + ny mal 3richtungsvektor.

das problem ist jetzt nur noch das man hier 3 variabeln hat.nämlich lambda,my und ny.

bei projektion in 1/2 ebene hat man die funktion ny = lambda
also y = x also f(x) = x,ich schreibe nur direkt my = lambda weil das weniger verwirrend ist.

in die 1/3 ebene projeziert kommt dann raus ny = lambda

damit ist die gleichung:

x:lambda mal 1richtungsvektor + lambda mal 2richtungsvektor + lambda mal 3richtungsvektor

nun kann man durch einsetzen einer zahl,nämlich lambda jeden punkt des graphen bestimmen.

wenn man die gleichung auflöst kommt folgendes raus:

der 1 richtungsvektor ist (1/0/0)
verfielfacht mit lambda kommt dann raus (lambda/0/0)
wenn man das für die gesamte gleichung macht erhält man nur einen einzigen vektor

(1/1/1) bzw. (lambda/lambda/lambda)

dadurch erhält man die parameterform einer geraden

x: stützvektor(0/0/0) + lambda (1/1/1)

daran sieht man eigentlich schon das ich recht hab :eek:

für einen "richtigen" graphen der keine konstante steigung und richtung hat
muss man eben das die funktionen die man durch seine projektion in die jeweiligen ebenen erhält für lambda,my und ny einestzen und dann my und ny so eliminieren das die einzige variable lamda ist.

wuh und da bin ich ganz allein draufgekommen.