Algebra - Vektoren und ihre lineare Hülle

[Vincent D. Vanderol]

Da mein anderes Mathe Thema schon auf Seite 2 entfleucht ist, mach ich mal ein neues aus^^"


Also...

Gegeben sind folgende drei Vektoren des R³

v1 = (1, 1, 2), v2 = (4, -2, 2), v3 = (-7, 11, 4)

Nun soll ich beweisen bzw widerlegen daß die lineare Hülle der drei der R³ ist, also

span(v1, v2, v3) = R³


Und nun gehts ans Eingemachte :p

Eigentlich müßte die Gleichung ja hinkommen, wenn die drei ne Basis des R³ bilden, also check ich auf lineare Unabhängigkeit, stell ne Matrix auf und mach das Gaußsche Eliminationsverfahren. Da kommt raus daß die linear abhängig sind, weil am Ende halt ne komplette Nullzeile entsteht.

1 4 -7
1 -2 11
2 2 4

1 4 -7
1-2 11
0 -6 18

1 4 -7
0 6 -18
0 -6 18

1 4 -7
0 6 -18
0 0 0


Und ab da wirds nebulös...
Muß es wirklich nur ne Basis sein, oder sogar ne Orthogonal oder gar Orthonormalbasis? Und irgendwie hab ich das Gefühl daß rauskommen soll daß die linear unabhängig sind, denn die restliche Aufgabe scheint darauf aufzubauen x__X Hab ich mich verrechnet? >__>


Kann jemand helfen? ^w^

[Jinjukei]

Deine Überlegung stimmt natürlich zuerst einmal. ^^
Zuerst hast du dich verrechnet, was bei der Aufgabe im Nachhinein kein Problem macht. Ja, die Vektoren sind linearabhängig, weil nach dem Gaußverfahren eine Nullzeile folgt. Das heisst, die Menge der 3 Vektoren ist kein Erzeugendensystem des R^3, dh. lineare Hülle bildet keine Basis. Doch bei dir hieß die Aufgabe: "..die lineare Hülle der drei der R³ ist..". Ja, die lineare Hülle der drei Vektoren ist der R^3, nur dass die letzte Komponente der Vektoren Null ist :).
Ansonsten: Man braucht kein Orthonormalsystem (also auch kein Orthogonalsystem) um den R^3 aufzuspannen, kannst dir ja überlegen wenn du 2 linearunabhängige Vektoren aufzeichnest, aber weisst du glaub selber ^^.

Hmm, ansonsten kannst ja mal die restliche Aufgabe. ;)

[Vincent D. Vanderol]

Besten Dank auch, ich scheine die Aufgabe richtig gelöst zu haben (die Matrix hab ich nochmal neu gemacht >__>"), schön daß einem hier immer so flott geholfen wird^^

[Vincent D. Vanderol]

Möp möp, wieder Fragezeit :p

Bin endlich beim letzten Thema des Semesters angelangt und hab auch wieder Fragen^^


Diesmal zu Eigenwerten, Eigenräumen und was da halt so zugehört...

Gegeben ist eine Matrix A

2 2 1
-2 -3 -2
1 2 2

Davon sollen Eigenwerte, algebraische Viefachheit, Eigenraum (also der Raum wo alle Eigenvektoren drin sind >__>) und geometrische Vielfachheit ermittel werden.

Hab erstmal das charakteristische Polynom ausgerechnet was wiefolgt aussieht (hoffe ich zumindest >__>)

-(a-1)² * (a+1) = det(A - a*E)

Daraus folgen die Eigenwerte
a1 = 1, a2 = -1

und die algebraischen Vielfachheiten
aV(a1) = 2, aV(a2) = 1


Soweit so gut, nu will ich den Eigenraum bezüglich a1 und a2 ermitteln und hab mit a1 angefangen, also muß ich ja folgendes LGS lösen

(A - a1*E) * v = 0 (E ist Einheitsmatrix, unterstrichene Variabeln sind Vektoren.

Da hab ich jetzt nun aber unendlich viele lösungen raus was irgendwie doch nicht hinkommen kann x__X


Kann mir jemand vielleicht auf die Sprünge helfen was ich hier falsch habe? Vielleicht das Polynom falsch umgestellt bzw die Eigenwerte falsch?


Freu mich auf helfende Hinweise :)

[Cheraphim]

Müste schon stimmen, was du geacht hat ;)

Wenn du Eigenvektoren ausrechnest mit (A-lambda*E)*v=0 bekommst du ja imer ein homogenes Syste und somit unendliche lösungen..

Jede Lösung davon ist im ein Eigenvektor, also hast du in den eigenvektoren im Prinzip einen Parameter (auch wenn der oft weggelassen wird)

also bei mir kommen die Eigenvektoren {a, -2a, a}, {-b, 0, b} und {-2c, c, 0} (a,b,c aus R UNGLEICH 0)

aber man schreibt oft einfach nur {1, -2, 1}, {-1, 0, 1}, {-2, 1, 0}, womit man zu jedem EW eben nciht alle möglichen, sondern nur einen Eigenvektor angibt.

Die Eigenvektoren sid linear unabhängig und bilden damit brav eine Basis des R^3

(so, hoffe mal das stimmt, bin eig zu müde u konzentriert nachzudenken)