Frage zu einer Steckbriefaufgabe

[Loxagon]

Eine Gleichung 4. Grades hat bei (-2/6) einen Hochpunkt und einen Sattelpunkt der durch den Ursprung geht ...

Gleichung, Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte, absoluter Flächeninhalt, Zeichnung

Mein Problem ist es dass ich nur zwei Infos habe

a) f´(-2) = 6
b) f ´´´ (0) = 0

Wie soll ich DAMIT die Aufgabe lösen?

(War heute in der Abiprüfung !)

Hätte ich mehr Infos wärs ja leicht, aber so?

[Jinjukei]

Du hast 5 Informationen (Gleichungen) und 5 Unbekannte, dh. man kann es lösen. Deine Informationen bei a) und b) stimmt nicht!
Durch den ersten Satz von dir bekommst du alle 5 Informationen und die Sattelpunkt-Information sagt dir das c=d=e=0 ist.

c=d=e=0
=> 16a-8b=6
=> 32a -8b = 0


2 Gleichungen, 2 Unbekannte ... :) => a=-9/8 und b=-3

Du musst an sowas Schritt für Schritt rangehen wenn du noch nicht soviel Erfahrung hast, einfach die Informationen sammeln und die Gleichungen aufstellen und dann lösen.

[Loxagon]

Kannst du ggf. vorrechnen...?

Und wieso macht der SP C bis E = 0
Ein SP liegt doch vor wenn f´´´ = 0 ist. Ungleich Null, dann liegt in f´´ ein Wendepunkt vor
Und den Hochpunkt muss man doch in f´ einsetzen, meine ich. Also f´(x) = y / f´(-2) = 6

[Jinjukei]

Kannst du ggf. vorrechnen...

Und wieso macht der SP C bis E = 0
Ein SP liegt doch vor wenn f´´´ = 0 ist. Ungleich Null, dann liegt in f´´ ein Wendepunkt vor
Und den Hochpunkt muss man doch in f´ einsetzen, meine ich. Also f´(x) = y / f´(-2) = 6

Ne, wenn du einen Sattelpunkt bei (x_0/y) hast, dann weisst du, dass f'(x_0)=f''(x_0)=0 ist. f'''(x_0) kann Null aber auch nicht Null sein. Wenn du jedoch weisst das f'(x_0)=f''(x_0)=f'''(x_0)=0 ist, dann ist das ein hinreichendes Kriterium für ein Sattelpunkt (dh. diese Information reicht aus damit es passiert) und es gibt auf jeden Fall ein Sattelpunkt.

Was ist denn ein Hochpunkt? Es ist ein Punkt mit einer Koordinate. Du hast geschrieben die Funktion (es heisst Funktion 4. Grades denn es gibt keine "Gleichung 4. Grades ^^") 4. Grades mit einem Hochpunkt bei (-2/6). Dass heisst doch, dass f(-2)=6 ist.
In einer Umgebung eines Hochpunktes ist doch der Hochpunkt die höchste Stelle oder? Dh. die Funktionswerte können keinen höheren Wert in dieser Umgebung annehmen. Aber dass heisst doch, dass dort "irgendwann" die Funktionswerte mal steigen und dann wieder sinken. Und dass heisst zugleich, dass die Steigung irgendwann Null sein muss, und das ist sie bei diesem Hochpunkt.

=> f'(-2) = 0

Denn die 2. Ableitung gibt doch die Steigung an.

Und wieso c und d Null ist, siehst du am Sattelpunkt. Wenn du die allgemeine Funktion 4. Grades ableitest und dann die Informationen einsetzt, muss c und d Null ergeben.

Warum e Null ergibt, schliesst sich daraus, dass "der Sattelpounkt urch den Ursprung (0/0)" geht!

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0 mit x= 0 weil f(0)=0
=> e = 0

Stell doch mal alle Gleichungen auf, dann siehst du es :)

Edit: Wenn du es nicht rausbekommen hast, kann ichs dir gerne nochmal vorrechnen sobald ich die Zeit habe, bzw. irgendjemand sonst von hier, wie Dhan oder Tabris.

[Loxagon]

Ja wäre nett. Dass mit dem Sattelpunkt check ich noch nicht genau.

[Jinjukei]

Also du weisst ja das der Sattelpunkt durch (0/0) geht, dass heisst es gilt f(0)=0. Dass dort ein Sattelpunkt ist, heisst das dort die 1. Ableitung Null, sowie die 2. Ableitung Null sein muss.
Also:
Du hast eine Funktion 4. Grades:
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

also:

f(0)=0 : f(0)=e => e=0 weil gelten muss f(0)=0

f'(0)=0 : f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d mit f'(0)= d aber weil wieder gelten muss f'(0)=0 => d=0

f''(0)=0 ... wieder das selbe ... also f''(x)=12ax^2+6bx+2c mit f''(0)=2c => c=0

jezt noch die anderen Gleichungen:

f(-2)=6 und f'(-2)=0

Dann hast du nur noch diese 2 Gleichungen und 2 Unbekannte, nämlich a und b.

[Loxagon]

f(0) 0 = 0 ?

Nicht f''(0) = 0?

Ein SP liegt doch vor wenn man den möglichen Wendepunkt von f'' in f''' einsetzt und die 3. Ableitung 0 wird. (Ungleich Null bedeutet ja f'' ist ein Wendepunkt ...)

[Jinjukei]

Schau dir nochmal deine Aufgabenstellung an: "...und einen Sattelpunkt der durch den Ursprung geht.." Das heisst doch das der Sattelpunkt durch (0/0) geht, also f(0)=0. Richtig!? :)

Bei einem Sattelpunkt ist die Steigung Null, so ist der Sattelpunkt definiert (!). Dass heisst ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der Steigung Null. Und da ein Sattelpunkt ein Wendepunkt zugleich ist, muss die 2. Ableitung Null sein. Denn, schau dir mal irgendwo ein Graphen von so einer Funktion an (http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj2/grundlagen/grund16.htm), bei einem Wendepunkt ändert sich die Richtung der Kurve, zb. hier von links nach rechts. Wenn du dir dann das ein bisschen weiterüberlegt, weisst du das diese Kurve genau beim Wendepunkt die höchste Steigung (Gefälle bei einer rechts nach linke Kurve) hat. Denk dir zum Beispiel ein Hügel. Du läufts zuerst eine kleine Steigung hoch, dann wirds immer steiler bis es irgendwann wieder flächer wird und enau in der mitte ist der Wendepunkt.
Und da dort die Steigung am höchsten ist muss doch dort auch bei der 2. Ableitung ein Maximum sein, denn die 2. Abl. gibt die STeigung an. Da dort ein Maximum ist, muss dort bei der 3. Ableitung die Null kommen, da beim Maximum die Steigung Null ist (oben beschrieben) ...
Wenn du nun .. ach fuck ^^ ... ja ungleich Null von f'''(x_0) bedeutet das es ein Wendepunkt ist, dachte du hast es nicht gecheckt aber ich solltee mal besser durchlesen das du es doch verstanden hast. .... egal vielleicht kannst mit meinem gelabbere oben noch was anfangen (wollte es zuerst löschen aber dastehen lassen schadet ja niemandem)....

... geh jetzt ins Schwimmbad abkühlen -_-