Frage zur Tangentenberechnung (bei Integralrechnung)

[noRkia]

das abi steht an und ich versuche ernsthaft dafür zu lernen.
während ich in stochastik und vektorechnung ein meister bin hab ich mit der integralrechnung probleme.
hier eine aufgabe aus der ersten klausur die wir in der 12ten hatten und in der ich damals schon versagt habe:

"Berechnen sie den Inhalt der Fläche,die der Graph der Funktion f(x)= x³ - 6x
mit der Tangente an den Graph f an der Stelle -1 einschliess!"

eigentlich nicht schwer und ich weis auch wie man die fläche zwischen 2 funktionen berechnet aber wie kommt man nochmal auf die tantengleichung t ?

bitte eine vollidiotensichere (in diesem fall norkiasichere) beschreibung!

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wenn ich die tangente dann hab hatte mir das da so gedacht:

1. schnittstellen mit hilfe von f(x)=t(x) berechnen (kann nur eine in diesem fall sein)
2.qualitativer verlauf der graphen über dem zu berechneden intervall
3.mit hilfe von A = [ F(b)-F(a)] -[T(b)-T(a)] bzw. [T(b)-T(a)] - [ F(b)-F(a)]
das ingegral berechnen.
wie ihr sehen könnt dürfen stammfunktionen benutzt werden.
fehlt halt nurnoch die tangente :D

[Dhan]

Blöh bin mir jetz nemmer ganz sicher weils gut nen Jahr her is aber Tangentengleichung ging glaubich so:

1. Steigung an dem Punkt, an dem die Tangente die Funktion berührt, ausrechnen (also Funktion ableiten und den X-Wert des Punktes einsetzen)
2. Diese Steigung ist auch die Steigung der Tangente, d.h. m hast du schoma
jetzt setzt du die TAngentengleichung mit c als Unbekannte mit dem X-Wert des Punktes als Wert mit der Funktiongleichung mit dem X-Wert des Punktes als Wert gleich und errechnest c
Fertig, scho hast du m und c der Tangente und mehr brauchst du ja nech

In deinem Fall also:
t: g(x) = mx + c (da Tangenten Geraden sind)

f(x)= x³ - 6x
f´(x)=3x²-6
f´(-1)=-3
-> t: g(x)=-3x+c

g(-1)=f(-1)
-3+c=-1+6
c=5+3
c=8
-> t: g(x)=-3x+8

[noRkia]

hm mich verwirrt etwas dieses c aus der gleichung:

t: g(x) = mx + c

bei einer geraden gibt c (wir nennen das immer b)doch den schnittpunkt mit der y achse an
also t(0) = c

was ist denn nun der schnittpunkt mit f(x)?

btw. meiner skizze nach kann die tangente die ja fällt die y achse bei 8 gar nicht schneiden weil f(-1)= 5 ist.

[Jinjukei]

Juhuu endlich wieder eine Mathe-Aufgabe ^^ ... und Dhan war wieder schneller...

Also die ist nich so schwer. Du musst dich immer an die Regeln halten, dann geht nix schief :> Dhan hat's dir ja eigendlich schon geschrieben, auch wenn er ein kleinen Vorzeichenfehler gemacht hat, aber halb so schlimm! Hauptsache du weisst wie es geht.
Deswegen geht das mit deiner Rechnung mit der 8 nicht auf :) (c=2)

Und den Schnittpunkt von f(x) mit t(x) brauchst du ja eigendlich nicht. Du weisst das es die Tangente beim definitionswert -1 ist. Also kennst du auch den Funktionswert und damit den Schnittpunkt (einfach den Definitionswert einsetzen). Dann brauchst du natürlich noch den anderen Schnittpunkt, bei dem du kein Wert kennst.
Bildlich ausgedrückt sieht man aber, dass die Tangente 2 Schnittpunkte mit der Funktion f hat. Warum? Die Tangente hat eine negative Steigung bei -1 (die Funktion f natürlich auch). So, aber die Funktion f (3. Grad) bekommt später (in positiver x-richtung nach dem Tiefpunkt) wieder eine postive Steigung und bleibt auch dabei und die Funktionwerte gehen ins Unendliche. Jedoch bleibt die Steigung von der Geraden ja konstant, dh. sie muss die Funktion f nochmals treffen.

Dh. gleichsetzen der Funktionen und die 2 Lösungen finden.
x^3-6x = -3x + 2
Dann kommst du auf die Gleichung: 0=x^3 - 3x -2 = 0
Man kann die 2. Lösung jetzt vllt durch Faktorisieren erkennen, aber das ist schwerer und braucht Zeit. Deswegen macht man normalerweise die Polynomdivision. Wenn du die ausgerechnet hast (du kennst ja den ersten Schnittpunkt -1, deswegen kannst du sie anwenden), kommst du auf:
0=x^2-x-2

Die Gleichung kannst du meiner Meinung nach nur durch die ABC-Mitternachts-PQ-Formel lösen. Nimm hier PQ, geht hier am schnellsten:
Lösung ist dann:
x=2 bei f(x)=t(x)=4

So jetzt hast du beide Schnittpunkte und kannst übers Integrieren die Fläche ausrechnen.
Achtung (Vergiss es ist doch nicht so wichtig, deine Formel stimmt doch ) :Du musst hier bei der Aufgabe aufpassen! Die Fläche spannt sich über die X-Achse hinüber, dh. deine Funktionen laufen auch über die X-Achse. Du hättest mit deiner Flächenformel schon Recht, wenn die Funktion eben nicht über die X-Achse laufen würden.
Beispiel: Nehmen wir die Funktion i(x)=x , und du willst von x=-1 bis x=1 die Fläche ausrechnen, die sie mit der x und den 2 Geraden aufspannt. Nehmen wir deine Formel:
0.5(1)x^2 - 0,5(-1)^2 = 0 ... und das kann ja nicht sein ^^

Also wenn du bisschen überlegst, weisst du , dass du von der Stelle a bis zur Nullstelle integrieren musst und von der Nullstelle weiter bis zur Stelle b. Das sieht dann so aus:

A = F(0)-F(-1) + F(2)-F(0) - ( F(2/3)-F(-1) + F(2) - F(2/3) )

Neeiinnn -_- Ok deine Formel stimmt auch, weil sich die Vorzeichen wieder ergänzen ....
Egal naja jetzt weisst es ^^ Ok falls du noch fragen hast, stell sie :D beantworte immer gerne ...

Jedenfalls -> A: 6,75

[noRkia]

"0.5(1)x^2 - 0,5(-1)^2 = 0 ... und das kann ja nicht sein ^^"

doch natürlich das integral von a bis a ist immer 0 und kürzt sich dann weg.

hm also was den ganzen packen angeht:

"Dh. gleichsetzen der Funktionen und die 2 Lösungen finden.
x^3-6x = -3x + 2
Dann kommst du auf die Gleichung: 0=x^3 - 3x -2 = 0
Man kann die 2. Lösung jetzt vllt durch Faktorisieren erkennen, aber das ist schwerer und braucht Zeit. Deswegen macht man normalerweise die Polynomdivision. Wenn du die ausgerechnet hast (du kennst ja den ersten Schnittpunkt -1, deswegen kannst du sie anwenden), kommst du auf:
0=x^2-x-2

Die Gleichung kannst du meiner Meinung nach nur durch die ABC-Mitternachts-PQ-Formel lösen. Nimm hier PQ, geht hier am schnellsten:
Lösung ist dann:
x=2 bei f(x)=t(x)=4"

das hab ich sofort gesehen.ich hab erst eine skizze gemacht und dann sieht man ungefähr wo die schnittstelle ist.nämlich bei 2.das hab ich eingesetzt und es hat gepasst :D

hm ich komme zwar auf einen anderen flächeninhalt aber naja das macht nix.

kanst ja gern nochmal nachrechnen.

[Jinjukei]

"0.5(1)x^2 - 0,5(-1)^2 = 0 ... und das kann ja nicht sein ^^"

doch natürlich das integral von a bis a ist immer 0 und kürzt sich dann weg.


Jep von a bis a aber nicht von -1 bis 1 sprich von a bis b :) In Physik kann ein so ein Flächenwert 0 werden (zB. bei Potentialen), jedoch nicht in der Mathematik. Du willst ja die Fläche zwischen der Funktion (hier f(x)=x) der x-Achse und den 2 Geraden an den Endwerten a und b. Also wäre das ja, geometrisch beschrieben (da f linear):
(b-a)(f(b)-f(a))/2 = 2 dh. die Formel oben eigendlch auch 2 als Ergebnis bringen, jedoch kommt dort 0 raus, weil man über die den x-wert, der schnittpunkt von der funktion und der x-achse ist, intergriert.

OOT: Und schaut jetzt ARD, das ist geil !!! ^^