mengenrechnung

[torteloni]

(¤¤ soll unendlich sein)
also, mein mathelehrer hat doch allen ernstes behauptet, dass ¤¤ + x = ¤¤. ich behaupte, das ist falsch (will also beweisen, dass ¤¤ + x > ¤¤). nun verlassen wir an diesem punkt leider auch schon die welt von adam riese und können mit äquivalenzumformungen leider nichts mehr reißen (sofort fällt einem da natürlich -¤¤ ein) sondern müssen uns mit der mengenrechnung beschäftigen.
menegnrechnungen sind rechnungen zwischen mächtigkeiten. ich möchte also beweisen, dass in der menge ¤¤ + x mehr Zahlen enthalten sind, als nur in ¤¤. So, nun überlegt man sich also, welche zahlen gibt es, die nicht in unendlich enthalten sind? der menschenverstand sagt einem entweder 'ist doch alles käse', dann jetzt bitte aufhören zu lesen, oder er sagt einem zuerst mal '¤¤ + 1'. Ne prima idee soweit, leider sind alle zahlen, die man durch addition (subtraktion) oder multiplikation (division) erhält, bereits in unendlich enthalten (so ist es definiert). was ist aber mit ¤¤²? schade, dass ich in der neunten klasse bin, und das eher stoff für den profilkurs ist, aber irgendwie wurmt mich das, zumal nirgendwo was darüber drinsteht, und ich kenne keine wirklich guten seiten für mathematik.
allerdings möchte ich nicht nur wissen, wie es wirklich ist, sondern auch, wie ihr es beigebracht gekriegt habt, da gibt es nämlich oftmals beachtliche differenzen ^^. also danke schonmal soweit, für hilfreiche links bin ich auch jederzeit dankbar =)

[derBenny]

Jaja, Pi ist genau 3. ^^

Nein, im Ernst, ich glaube nicht, dass es möglich ist, das zu beweisen. Mit Unendlich kann man nicht arbeiten wie mit einer normalen Zahl. Es ist, soweit ich weiß, eher ein Prozess, bei dem eine Zahl immer wieder erhöht wird.

[Moyaccercchi]

Vorweg - ich kann nicht mehr als spekulieren. Und jemandem, der mit Antiperioden und lokalen Chaosvariablen den Matheunterricht auffrischt sollte man auch nicht allzu viel Glauben schenken. ^^
Also, erstmal - soll dein Unendlich nun eine Zahl sein, also die größte Zahl die es gibt, die es natürlich eigentlich nicht geben kann, da auch sie einen Nachfolger hätte, aber halt mal angenommen, oder soll sie eine Menge sein, die Menge aller Zahlen auf der Welt, von der kleinsten - die es ja nicht geben kann - bis zur größten - die es ja auch nicht geben kann? In ersterem Fall würde ich auf den ersten Blick schon sagen, dass ¤¤ + x > ¤¤, da eine Zahl, zu der eine positive Zahl addiert wird, ja immer größer sein muss, als sie selbst. Bloß ist ja meiner 'Definition' dort oben nach unser Unendlich schon die größtmögliche Zahl, also ist ¤¤ + x etwas weiter gedacht einfach eine genauso 'verbotene' Rechnung, wie auch x / 0.
Was ist nun, wenn Unendlich eine Menge ist? Dann würde meiner Meinung nach dein Lehrer Recht behalten. Denn wenn in der Menge bereits jede Zahl enthalten ist, ist dort auch bereits die Zahl x enthalten. Wenn in einer Menge ein Element, eben in diesem Fall die Zahl x, mehrmals enthalten ist, ist das kein Unterschied dazu, als wenn nur eines dieser Elemente enthalten wäre, glaube ich mich zu erinnern. Will heißen wenn x zum Beispiel gleich 1, dann wäre 1 schon vorher Element von ¤¤, und hinterher ebenso EIN Element davon.
Falls ich totalen Blödsinn geschrieben habe, bitte ich dies, mit der Ortszeit von 5:07 verständnisvoll im Blick, zu ignorieren. ^^

[torteloni]

zuerst:


..
Mit Unendlich kann man nicht arbeiten wie mit einer normalen Zahl.
..

..
nun verlassen wir an diesem punkt leider auch schon die welt von adam riese und können mit äquivalenzumformungen leider nichts mehr reißen (sofort fällt einem da natürlich -¤¤ ein) sondern müssen uns mit der mengenrechnung beschäftigen.
menegnrechnungen sind rechnungen zwischen mächtigkeiten.
..
und nein, das mit dem prozess ist falsch. unendlich ist eine zahlenmenge.

also... ¤¤ + x = ¤¤. dabei sind ¤¤ und x jeweils zahlenmengen (wie Q, R, I oder so). bis dahin liegt meinerseits auch noch kein fehler vor.
jetzt schaut man, welche zahlen die menge x enthalten muss, welche nicht in ¤¤ enthalten sind. so dinge wie 'die größte Zahl +1' oder 'die größte Zahl x2' oder 'die menge aller zahlen +1' sind zwar ganz nett, bringen aber leider nichts, weil diese nach definition bereits in der menge vorhanden sind. was ist aber mit 'die größte zahl der menge zum quadrat' oder 'die menge aller zahlen zum quadrat'? dazu habe ich keine infos gefunden.
ich brauche nur diese eine info, den rest weiß ich doch =)

edit: andere rechnungsart, andere rechengesetze, mein lieber =). übrigens ist unendlich gar nicht so ein tolles teil. man kann es zwar nicht aufschreiben, aber man kann damit recchnen. wie mit i zb.
edit2: natürlich kann man da nicht nach den rechengesetzen von adam riese mit rechnen.

[Tabris]

Wenn du Unendlich irgendwie als Menge auffassen willst, dann sind die Reellen Zahlen per definitionem doch eine Teilmenge davon.

[torteloni]

ja. das ist keine antwort auf meine frage.

[Tabris]

Schau am besten mal auf http://www.matheplanet.com/, da wird dir eher geholfen werden können.

Edit: Übrigens hast du dir deine Frage doch schon selbst beantwortet. Durch die "Abgeschlossenheit der Menge Unendlich" liegt doch die Menge aller Zahlen zum Quadrat auch wieder drin. .___.

[Fensi]

oder auf wikipedia

Dort heißt es



Es folgt eine Definition der Menge der natürlichen Zahlen durch Axiome, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt.

1. 0 ist eine natürliche Zahl. (nun gut, heute ist 0 definitionsgemäß nicht Teilmenge von N)
2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der ebenfalls eine
natürliche Zahl ist.
3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.


Damit sollte doch deine Frage geklärt sein, oder? In den natürlichen Zahlen ist jede beliebige ganze Zahl >0 enthalten..oder wo ist dein Problem?
Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann sind auch n+1, n^2, n! natürliche Zahlen; das ist eine direkte Folgerung aus 2.

Und da ganze und rationale Zahlen einfache Erweiterungen von N sind, sollte die Sache doch geklärt sein, oder?

[torteloni]

weder habe ich mir meine frage selbst beantwortet, noch ist sie irgendwo geklärt. mit multiplikation (nicht mit sich selbst!) und addition erreicht man nix, das weiß ich, aber ich konnte noch keine infos über die quadratur herausfinden (das ist ja eine andere rechenoperation).
nochmal zu axiomen:
danke, ich kenne die axiome im groben, allerdings hilft mir dieser hinweis nicht wirklich. 1) du bewegst im bereich der natürlichen zahlen, also es ist alles noch ohne probleme abzählbar, kein bezug zu meinem problem. 2) ich stimme dir zwar in allem zu, weil ich auch dieser meinung bin, wie allerdings schließt du darauf, dass auch 'auch n+1, n^2' natürliche zahlen sind? das beweise mir bitte.
I ist zwar ne immaginäre zahl. I +1 auch. I² ist =1, also keine immaginäre zahl :p

[Dhan]

Ums nochma zusammenzufassen:
Wenn du mit Mengen rechnest, wäre das, wie wenn du sagst: "Was ist alle Säugetiere plus Kaninchen?"
Wenn du als Gleichung rechnest, ist es eine "verbotene Rechnung" wie x/0

[Tabris]

aber ich konnte noch keine infos über die quadratur herausfinden (das ist ja eine andere rechenoperation).

Wie bitte?


I ist zwar ne immaginäre zahl. I +1 auch. I² ist =1, also keine immaginäre zahl :p

1 ist doch auch 'ne komplexe Zahl, nur ohne Imaginäranteil. ^____^

[torteloni]

...
Wie bitte?
...
quadratur in verbindung ,mit unendlichkeit usw =). wie man etwas quadriert, weiß ich grad so
aber egal, ich glaube ich kapituliere lieber vor meinem lehrer

[Tabris]

quadratur in verbindung ,mit unendlichkeit usw =). wie man etwas quadriert, weiß ich grad so
aber egal, ich glaube ich kapituliere lieber vor meinem lehrer

Ach was, nicht resignieren. Versuch doch noch einmal, dein Problem genauer zu beschreiben. Ich will das jetzt wissen. :[

[Fensi]

weder habe ich mir meine frage selbst beantwortet, noch ist sie irgendwo geklärt. mit multiplikation (nicht mit sich selbst!) und addition erreicht man nix, das weiß ich, aber ich konnte noch keine infos über die quadratur herausfinden (das ist ja eine andere rechenoperation).
nochmal zu axiomen:
danke, ich kenne die axiome im groben, allerdings hilft mir dieser hinweis nicht wirklich. 1) du bewegst im bereich der natürlichen zahlen, also es ist alles noch ohne probleme abzählbar, kein bezug zu meinem problem. 2) ich stimme dir zwar in allem zu, weil ich auch dieser meinung bin, wie allerdings schließt du darauf, dass auch 'auch n+1, n^2' natürliche zahlen sind? das beweise mir bitte.
I ist zwar ne immaginäre zahl. I +1 auch. I² ist =1, also keine immaginäre zahl :p

1) Ich sagte bereits, dass ganze und rationale Zahlen einfache Erweiterungen der natürlichen Zahlen sind, deshalb sehe ich schon einen Bezug auf dein Problem. Selbst die reellen Zahlen sind durch das Vollständigkeitsaxiom gefordert eine Erweiterugn der natürlichen Zahlen.

2) Das folgt eigentlich aus der Definiton. Sei n natürliche Zahl => n ist ganzzahlig und positiv, weiterhin besteht die Menge der natürlichen Zahlen aus einer unendlichen Anzahl von Elementen.
n' = n + 1 : Die Summe zwei positiver Zahlen ist positiv (folgt aus den Anordnungsaxiomen, n' ist ganzzahlig ,ist klar, weil wir n aus der Menge von N definieren)

n^2: Das Produkt zweier natürlichler Zahlen ist positiv (folgt aus Anordnungsaxiomen) und ganzzahlig.

n! das gleiche Schema

Es reicht bei natürlichen Zahlen zu zeigen, dass es sich um ganze, positive Zahlen handeln muss


3) Im Übrigens verwechselst du komplexe und imaginäre Zahlen. Die Zahl i ist imaginär und komplex, i + 1 ist nicht imaginär, sondern nur komplex. Allgemein rechnet man in der höheren Mathematik mit komplexen Zahlen. Und i^2 = - 1 ist genauso ein komplexe Zahl wie es 0, 5, Pi und i sind. Also: Die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen.

[Jinjukei]

Hi Torteloni,
hab mir deine Frage heut morgen durchgelesen und will sie jetzt beantworten. Ich habe mich selber noch nicht spieziell mit dieser Frage ausseinandergesetzt, deswegen bin gerade dabei mir das weiter anzueignen. Ich versuche dir dann auch immer die Quelle mithinzuschreiben, falls es eine gibt. Falls du nur den Beweis selber lesen willst, dann schau unten im Post nach, ansonsten hab ich mirs nicht nehmen lassen, noch bisschen von den Grundzügen des Unendlichkeits-Begriff zu schreiben. :>

Vorwort:
Da du ja erst in der 9. Klasse bist und es auch schade findest, hab ich mir gedacht dir bisschen was vorweg zu schreiben.
Also wenn du in der Mathematik etwas rechnen willst, lernst du dir den Algorithmus an und machst es intuitiv, doch geht es ums Beweisen, geht es erst einmal ans Eingemachte. Wenn du ein geschmirtes Brot isst, dann ist du es wie du es schon immer gelernt hast. Doch wenn du dir ein Brot selber backen willst, könntest du dir zuerst mal selber sagen: "Hey, das Brot war rund, war braun, aussen hart und innen weich, also nehm ich mir ein Bisschen was weiches, wie zum Beispiel Teig, male es mit brauner Farbe an und gefriere es bis es endlich hart wird" (is mir grad so eingefallen) oder du sagst dir "Ich schaue mir an, was man braucht, um ein Brot zu backen und es mir dann nach den Regeln der Kochkust selber backe...". Das gleiche mit der Mathematik, du kannst versuchen, dir das Ganze aus deinem Wissen und deiner Intuition herzuleiten, oder aber es dir analyisieren, wie es aufgabaut ist ... Auch wenn du es schon alles wusstest, wollte ich es trotzdem hinschreiben ...

Zuerst einmal ist es schwieriger im Unendlichen zu arbeiten, überlegen oder gar etwas zu beweisen. Ich glaube sogar, da müsste man mit dem Diskutieren über das sogar "zweifehafte" Dogma des "Tertium non datur" diskutieren, was im Grundlagenstreit der Mathematik auch gemacht wird. Damit meine ich, ob es nur ein "Wahr" oder "Falsch" in der Mathematik gibt, sprich ob "oo +1 > oo" oder ob "oo +1 = oo", oder ob es auch ein Drittes gibt (daher Tertium non datur = ein Drittes gibt es nicht).
Wenn du etwas in der Mathematik beweisen willst, musst du auf die Axiome und Definitionen aufbauen, aus denen sich wieder etwas folgern lässt. Im Unendlichen gibt es sogar verschiedene Defnitionen von Dingen (dabei fallen mir gerade nur Hilbert und Cantor ein). Zitat von Hilbert durch: "Das Operieren mit dem Unendlichen kann nur durch das Endliche gesichert werden." (H (http://www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/m_unend0.htm#Hilbert, David)) Dh. du kannst rekursive Ansätze benutzen und diese zB. über Funktionen gegen Unendlich laufen lassen (Potentielle Unendlichkeit - s.U.), aber du kannst nicht (!) mit unendlich selber operieren. Aber wie gesagt, das ist Hilbert's Sichtweise (Über das Unendliche (http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D26802&p=174)).
Du willst die Gleichheit zwischen "oo = oo + 1" widerlegen, doch hast du dich schon gefragt, was "oo" überhaupt ist? und was bedeutet hier dein "="?

Gleichheit:
Wie du schon gesagt, hast sind diese 2 Mengen gleich, falls gleich viele Elemente beinhalten. Nun gibt es die Kardinalität, welche die Anzahl dieser Menge angibt (card{a,b} = card {bla, blu}). Nimmt man eine unendliche Menge von irgendetwas, zum Beispiel natürlichen Zahlen, so kann die Kardinalität ja keine Zahl aus den natürlichen sein, sonst wäre sie ja endlich! Welche Zahl ist es dann? Sie wäre überhaupt nicht bekannt für uns! Nehmen wir zum Beispiel "oo"...
Cantor hat deswegen die Mächtigkeit "Aleph_0" definiert. 0 hat er für die "kleinste Mächtigkeit im Unendlichen" (zb. ganze, natürliche Zahlen) und 1 für eine höhere Stufe der Mächtigkeit, zB. der reellen Zahlen, definiert.
In Systemen über die Unendlichkeit hinaus, also in transfiniten Systemen, kommt eine weitere Größe Naleph in Einsatz, die als Basiseinheit einer unendlichen Größe für die natürlichen Zahlen definiert werden kann. Zb: wäre "card(gerade natür. Zahlen) = card (ungerade natür. Zahlen) = Naleph" und "card(ganze Zahlen) = 2 * Naleph (negativen natürlichen Zahlen dazu)" Und eine unendlich-stellige reelle Zahl ist der Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig (jedoch sind wir hier im naiven transfiniten System - das N vor dem Naleph steht für das Naiv)
So, dh. bei dir wäre das Naleph + 1 > Naleph (bzw. =), was ja eigendlich Sinn ergäbe, doch da wir hier im transfiniten System sind, gibt es noch Dinge zu beachten, nämlich WAS für ein Unendlich meinst du?

Unendlichkeit:
Es gibt verschiedene Arten Unendlichkeiten zu betrachten, es gibt einmal die aktuale Unendlichkeit (AU) und die potentielle Unendlichkeit (PU). Die rekursive Andeutung vorher würde einer potentiellen Unendlichkeit entsprechen, wir haben einen Anfang: nehmen wir die 1, wir haben eine Fortsetzungsregel: nehmen wir 1/n und kein Ende (0): wenn wir die nat. Zahl n einsetzen. (Zitat von Hilbert oben: "...Endliche gesichert werden", ich glaube das meint er damit) Bei der aktualen gibt es einen Anfang, eine Fortsetzungregel und ein gedachtes Ende.
So, wie auch immer wir jetzt losrechnen wollen, wir brauchen eine Definition, einen Ansatz im Unendlichen, da bietet sich doch die Basisgröße Naleph aller AU an.
Nehmen wir die natürlichen Zahlen, man kann sie als AU und PU ansehen, wobei PU auch kein wirkliches Ende hat, denn man könnte immer wieder 1 dazuzählen ...

Nun zur Definition der Menge der Unendlichkeit! Und damit zum Ende ^^:
Eine Menge heißt unendlich, wenn sie zu einer echten (!) Teilmenge gleichmächtig ist, dh. zB. die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, denn sie ist gleichmächtig zur Menge aller geraden natürlichen Zahlen (wie vorher an der Größe Naleph gezeigt). Es gibt [b]keine "Zahl" namens unendlich, wie z.B. das Symbol "oo". Wenn du mal irgendwann Analysis studierst ^^, dann siehst du das man dort oo für Grenzübergänge (Überwindung der Grenze bei der PU) benutzt, wie zum Beispiel bei der Folge 1/n, wenn man n gegen Unendlich (oo) laufen lässt: limes(1/n)=0 für (n->oo) ...
Kannst ja mal in den anderen Thread schauen (Grenzwertsätze...oder so), da stehen ein paar Aufgaben drin...

Ich hoffe hab dir bisschen geholfen :) (hoffe ich hab "nicht allzuviel" Fehler geschrieben)

Edit: Zu guter Letzt habe ich mich noch in Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeit) umgekuckt und gesehen, dass es noch ziemlich viel zu Überdenken gibt, zwar nicht bei deiner Frage, aber zb. über die Mengen und die Kardinalzahlen (Ordinalzahlen) und deren Mächtigkeit ... etc ... vielleicht schreib ich mal ein ausführlichen und leserlichen Artikel (Thread...) darüber *g*

[Dhan]

Jetz hab ich ne gute Formulierung gefunden:

Stell dir vor, du bist in einer Welt gelandet, die nur ein perfektes Koordinatensystem ist (öh so ein gleichförmiges Dingens halt, is mir auf jeden Fall egal, wieviel Dimensionen es hat, sollte halt scho eine odermehr ham ^^). Jemand drückt dir nen Lineal in die Hand und führt dich zu zwei Strichen.
Einer davon ist eine Halbgerade, der andere eine Gerade. Deine Aufgabe ist es nun, auszumessen, welcher Strich von beiden nun länger ist mit dem Lineal.

Du verstehst?

[torteloni]

danke, jetzt hab ichs verstanden. und nein dhan, dein beispiel verstehe ich gerade nicht
besonders gut. ich weiß, was du sagen willst, aber das beispiel ist afaik etwas unglücklich
gewählt.
das mit dem brot braun anmalen fand ich gut :)

[Jinjukei]

Jetz hab ich ne gute Formulierung gefunden:

Stell dir vor, du bist in einer Welt gelandet, die nur ein perfektes Koordinatensystem ist (öh so ein gleichförmiges Dingens halt, is mir auf jeden Fall egal, wieviel Dimensionen es hat, sollte halt scho eine odermehr ham ^^). Jemand drückt dir nen Lineal in die Hand und führt dich zu zwei Strichen.
Einer davon ist eine Halbgerade, der andere eine Gerade. Deine Aufgabe ist es nun, auszumessen, welcher Strich von beiden nun länger ist mit dem Lineal.

Du verstehst?

hä o_O was meinst du damit? Oder willst du damit nur sagen, dass ich totalen Humbuck schreibe !? Versteh den ganzen Zusammenhang nicht ^^ oder soll das einer zwischen deinem letzten Postu nd diesem sein, dass es "nicht funktioniert" ^^?

[Dhan]

hä o_O was meinst du damit? Oder willst du damit nur sagen, dass ich totalen Humbuck schreibe !? Versteh den ganzen Zusammenhang nicht ^^ oder soll das einer zwischen deinem letzten Postu nd diesem sein, dass es "nicht funktioniert" ^^?
Ne ich stimm dir sogar zu und wollt mehr oder weniger dasselbe prägnant ausdrücken... (ich arbeit gerne mit Vergleichen) naja, manchma sind Gedankengänge von mir, die ich für prägnant halte, zu verworren ^^

[Jinjukei]

Ne ich stimm dir sogar zu und wollt mehr oder weniger dasselbe prägnant ausdrücken... (ich arbeit gerne mit Vergleichen) naja, manchma sind Gedankengänge von mir, die ich für prägnant halte, zu verworren ^^
Achso, dann tut es mir Leid, jep ich denk auch oft ziemlich verwirrte sachen ^^