Mal wieder Mathe: Zinsrechnung

[derBenny]

Es geht um folgende Aufgabe:

Bei der Annuitätentilgung wird jeweils am Ende des Jahres die gleiche Annuität, d.h. der gleiche Betrag für Zins und Tilgung gezahlt. Da die Zinszahlung kleiner werden, wachsen die Tilgungsbeträge. Untersuchen Sie diesen Zusammenhang an den folgenden Beispielen.
a) Ein Bauherr will einen Kredit in Höhe von 200 000 € innerhalb von 10 Jahren vollständig zurückzahlen. Die Bank bietet einen Zinssatz von 7%. Wie hoch ist die jährliche Annuität?

Wie es in Mathe so ist, hat die Lösung eigentlich keine Bedeutung. Die Formel könnte ich mir auch bei Wikipedia besorgen. Kann mir jemand einen kompletten, allgemeinen Lösungsweg mit allen nötigen Herleitungen zeigen? So nachvollziehbar wie möglich, bitte ... ^^
Ich weiß absolut nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.

[Dhan]

Irgendwie verwirrt mich allein die Fragestellung, ich hab bisher halt noch keinen Kredit aufgenommen... Heißt das, man zahlt jedes Jahr dasselbe und das ist so berechnet, dass am Ende alles getilgt ist, auch die Zinsen?
Wenn ja würd ich sowas machen:

((Grundbetrag*Zinsatz - Annuität)*Zinsatz - Annuität)*Zinsatz - Annuität=0 für 3 Jahre als Beispiel, das wäre ohne Klammern:

(G*Z² - A*Z -A)*Z - A = 0
G*Z³ - A*Z² - AZ - A = 0

Für 4 Jahre nehmen wir das mit Z mal und wieder - A:
G*Z^4 - A*Z³ - A*Z² - AZ - A = 0

d.h. für 10 Jahre bekommen wir raus:
G*Z^10 - A*Z^9 - A*Z^8 - A*Z^7 - A*Z^6 - A*Z^5 - A*Z^4 - A*Z³ - A*Z² - A*Z - A = 0
umgeformt:
G*Z^10 = A*Z^9 + A*Z^8 + A*Z^7 + A*Z^6 + A*Z^5 + A*Z^4 + A*Z³ + A*Z² + A*Z + A
Durch A und G*Z^10 teilen:
1/A =(Z^9 + Z^8 + Z^7 + Z^6 + Z^5 + Z^4 + Z³ + Z² + Z + 1)/ G*Z^10
Invertieren:
A = G*Z^10/(Z^9 + Z^8 + Z^7 + Z^6 + Z^5 + Z^4 + Z³ + Z² + Z + 1)

Aber is spät inner Nacht und ich bin müde und sowieso ewig nemmer Mathe gemacht, kA obs so passt, such dir irgendwo das Ergebnis raus und schau, ob meine Lösung das ergibt

(Zinsatz heißt bei mir äh, also 7% Zinsen wäre bei mir ein Zinsatz von 1,07 wenn du dich wunderst, wenn der Lehrer das net mag, dann eben 1 plus Zinsatz)

[derBenny]

Danke für die Hilfe.
Der Ansatz sieht richtig aus, sollte funktionieren. Damit kann ich weiterrechnen. Im Nachhinein fragt man sich bei solchen Aufgaben immer, warum man nicht selber drauf gekommen ist.

[Dhan]

Joa, war aber ne harte Nuss, ich musst ganz schön überlegen bis ich auf die Formel kam, ich mein, klar is, solche Aufgaben löst ma grundsätzlich, indem man eine Gleichung mit allen Variablen aufstellt und nach den Unbekannten auflöst nur da musst ich erstmal ein bisserl nachdenken zumal mein Mathe eingerostet is (hab lieber schwere Aufgaben im April, dann studier ich das ^^)

[Cheraphim]

weiß nciht ob das jetzt scho geklärt ist, aber falls nicht hier nochmal die Herleitung:

Am Prinzip steckt hinter der Formel für Annuitätentilgung die Sparkassenformel

K(n)=K*q^n+R*(q^n-1)/(q-1)

(zusammensetzung von angelegtem Kapital, dass aufgezinst wird und einer gleichmäßigen Rente, erster Summand ist Multiplikation, zweiter Summand ist Summe für eine geometrische Reihe)

hierbei ist K dann die Anfangsschuld und R sind die Annuitäten, wobei R=-A, da die Annuitäten vom Schuldner gezahlt werden

K(n) wird am Ende 0, da die Schuld dann abgezahlt ist.

somit K*q^n=A*(q^n-1)/q-1)

umgestellt A=K *q^n*(q-1)/(q^n-1)


(q :=i+1, i ist der zinssatz, also q ist in dem Falle 1,07)