Von Grenzwerten, Satz von Taylor, Bernoulli, de l´Hospital, Newton Verfahren...

[Waya Yoshitaka]

Mir könnte man wirklich sehr helfen, wenn mir jemand verständlich (ich bin eine Mathe null) Grenzwerte, die Regel von Bernoulli und de l´Hospital, den Satz von Taylor und das Newton Verfahren erklären könnte. :(

Hier einpaar Aufgaben, wo ich zwar die Lösungen habe, aber keinen blassen Schimmer, wie man da drauf kommen soll.

Grenzwerte:


a) lim x²-8x+12
x->2 -------------
x- 2

b) lim ³√(1+5x) - 1
x->0 ----------------
2x

Satz von Taylor:
Entwicklen Sie die folgenden Funktionen an der Stelle x = x0 in ein TAYLOR-Polynom bis zur 5-ten Potenz und geben Sie das allgemeine Glied an (n-te Potenz)!

a) f(x) = e^x , x0 = 0
b) f(y) = 1/x , x0 = 2
Gegeben sei die Funktion y = f(x) = sin² x.

a) Entwicklen Sie die Funktion y = f(x) an der Stelle x = 0 in ein TAYLOR Polynom vierten Grades!
b) Bestimmen Sie mit Hilfe des TAYLOR Polynoms den Wert y0 = sin² (19°) und vergleichen Sie diesen Wert mit dem Wert, den Ihr Taschenrechner ausgibt!Die Regel von Bernoulli und de l´Hospital hat wohl auch irgendwie damit zu tun, aber keine Ahnung... :(

Newton Verfahren:
Bestimmen sie alle Nullstellen der folgenden Funktionen jeweils auf 4 Dezimalstellen genau! (Zur Wahl eines geeigneten Anfangspunktes für das NEWTON - Verfahren skizzieren Sie f(x) oder geeignete Hilsfunktionen. Z.B. kann man bei f(x) = x²+√x - 1 die beiden Funktionen f1(x) = x² - 1, f2(x) = - √x skizzieren, den Schnittpunkt der beiden Graphen näherungsweise ablesen und als Startpunkt x0 verwenden.

a) f(x) = 2e^x - x -1
b) f(x) = x² + √x - 1 , x ≥ 0
c) f(x) = In x -x + 3/2, x > 0


Noch eine Aufgaben Variante, mit der ich nix anfangen kann :/

Welche Bedingungen müssen die reellen Zahlen a, b, c und d erfüllen, damit die Funktion

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

lokale Extrema besitzen?

[Jinjukei]

Hi, hab nicht viel zeit, da ich gleich weg muss, aber kanns dir gerne morgen ausführlich hinschreiben...

bei der 1. hast du eine folge und dein x geht sogar gegen eine reelle zahl, dh du setzt sie einfach ein! dieses x->2 heisst einfach das x sich zur 2 annähert, normalerweise geht x gegen unendlich bei solchen aufgaben.
solltest die a somit rausbekommen :)
bei der b geht x-> 0,sprich x nähert sich von linke oder von rechts (wenn du den zahlenstrahl anschaust) der null an. Du hast aber x im nenner, und durch null teilen ist nicht definiert, aber wenn der nenner gegen null geht, geht der gesamte quotient gegen unendlich. Aber im Zähler steht ja noch ein 5x in der 3.wurzel, dh . der zähler geht gegen 0, nun musst du herausfinden ob der nenner oder der zähler gegen 0 geht :)

satz von taylor

du hast die approximation der gegebenen funktionen durch das polynom

t(x)={ summe 0 ->infty }(1/k!)(f^(k)(x_o))(x-x_o)^k mit der k-ten abbleitung, naja und jetzt einfach einsetzen :) wobei bei der ersten hast du den entwicklungspunkt bei 0, dh du kannst die formel
t(x)= { summe 0 ->infty (1/k!)(f^(k)(0))x^k benutzen

edit: mit der regel von l'hospital kannst du, in dem du eine folge als quotient darstellst, den grenzwert ausrechnen mit lim(x->y)(f'(x)/g'(x))=L und y nicht im radius liegt, auf der die funktionen differenzieren....aber egal :>

die 2. a geht genauso
die 2. b dort nimmst du als entwicklungsstelle (x_o) einfach 19grad in bogenmass an und 4-te abbleitung vom taylorpolynom

...morgen kommt mehr, falls fragen hast, her damit :>

[Waya Yoshitaka]

approximationWas ist das schon wieder? :\

Kannst du mir die Aufgaben vielleicht schrittweise noch mit vorrechnen, da würde ich es auch eher verstehen, wenn ich parallel zu den Erklärungen sehe, was man da machen muss.

Hier mal die Lösungen zum Vergleich:
Grenzwerte:

a) -4
b) 5/6

Satz von Taylor:

1)
a) f(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6...
b) f(x) = 1/2 - 1/4 (x - 2) + 1/8 (x - 2)² - 1/16 (x - 2)³....

2) f(x) = x² - (x^4)/3 , sin (19°) = 0,10599...

Newton Verfahren:

a) keine Nullstellen
b) 0,524 889
c)2.357 677 , 0.301 710

[Tabris]

bei der 1. hast du eine folge und dein x geht sogar gegen eine reelle zahl, dh du setzt sie einfach ein!

Naja... ^^

Ich denke, dass du die ersten beiden Aufgaben gut mit der Regel von L'Hospital lösen kannst.

Nehmen wir an, du willst den Grenzwert vom Quotienten zweier Funktionen f(x)/g(x) bestimmen, wenn x -> a strebt. f(a) und g(a) ist = 0. Jetzt leitest du f und g n-mal ab, bis du a einsetzen kannst und nicht mehr g(a) = 0 als Ergebnis erhälst. Ganz wichtig: für _alle_ Ableitung bei beiden Funktionen bis zur n-ten Ableitung muss für f(x) und g(x) gelten, dass, wenn man a einsetzt, die Ableitungen 0 sind. Ich hoffe, dass war halbwegs korrekt und verständlich. ^^ Mich kann ein anderer gerne berichtigen, wir hatten das gerade erst in Analysis eingeführt.



a) Sei f(x) := x^2 - 8x + 12 und g(x) := x - 2.
Dann ist f'(x) = 2x - 8 und g'(x) = 1.
Es ist f(2) = 0 und g(2) = 0 sowie f'(2) = -4 und g'(2) = 1.
Also ist die Regel von de L'Hospital anwendbar und es gilt:

lim x^2 - 8x + 12
x->2 ---------------- = f'(2)/g'(2) = -4/1 = -4
x - 2




b) Sei f(x) := (1 + 5x)^(1/3) - 1 (also dritte Wurzel) und g(x) := 2x.
Dann ist f'(x) = (5/3)*(1 + 5x)^(-2/3) und g'(x) = 2.
Es ist f(a) = 0 und g(a) = 0 sowie f'(a) = 5/3 und g'(a) = 2.
Also ist die Regel von de L'Hospital anwendbar und es gilt:

lim (1 + 5x)^(1/3) - 1
x->0 --------------------- = f'(0)/g'(0) = (5/3)/2 = 5/6
2x


Nun zum guten Alten Satz von Taylor. Nehmen wir an, du hast eine Funktion f(x) und einen Punkt x_0. Nach dem Satz von Taylor ist nun f(x) gleich einem gewissen Taylorpolynom. Ich kann das leider nur sehr schlecht hier beschreiben, vielleicht schaust du mal in der Fachliteratur oder bei Wikipedia nach? Vielleicht dürfte der Satz von Tayler dann im Zusammenhang mit meinen Rechnungen klarer werden.



Allgemeine Formel für Taylorentwicklung einer Funktion f(x) an der Stelle x0
bis zur n-ten Potenz:
(f^(n) ist die n-te Ableitung)

f(x) = f(x0) + (f'(x0)/1!)*(x - x0) + (f''(x0)/2!)*(x - x0)^2
+ ... + (f^(n)(x0)/n!)*(x - x0)^n + R

Wobei R das sogenannte Restglied ist. Ich weiß allerdings nicht,
inwieweit das bei euch eine Rolle gespielt hat.




a) f(x) = e^x , x0 = 0

Bekanntlich verändert sich e^x beim Ableiten nicht und e^0 = f(0) = 1

Taylorentwicklung von f(x) = e^x an der Stelle x_0 = 0 bis zur fünften Potenz:

f(x) = f(0) + (f'(0)/1!)*x + (f''(0)/2!)*x^2 + (f'''(0)/3!)*x^3
+ (f''''(0)/4!)*x^4 + (f'''''(0)/5!)*x^5

= 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + (x^5)/5!

=> Für das n-te Glied gilt: (x^n)/n!.




b) f(y) = 1/y = y^(-1) , y_0 = 2

Es gilt:

f'(y) = -y^(-2), f''(y) = 2y^(-3), f'''(y) = -6y^(-4),
f''''(y) = 24y^(-5) , f'''''(y) = -120y^(-6)

und

f'(2) = -(1/4), f''(2) = (1/4), f'''(2) = -(3/8),
f''''(2) = 3/4, f'''''(2) = -(15/8)

Taylorentwicklung von f(y) = 1/y an der Stelle y_0 = 2 bis zur fünften Potenz:

f(y) = f(2) + (f'(2)/1!)*(x -2) + (f''(2)/2!)*(x -2)^2 + (f'''(2)/3!)*(x - 2)^3
+ (f''''(2)/4!)*(x - 2)^4 + (f'''''(2)/5!)*(x - 2)^5

= 1/2 - (1/4)*(x - 2) + (1/8)*(x - 2)^2 - (1/16)*(x - 2)^3
+ (1/32)*(x - 2)^4 - (1/64)*(x - 2)^5

=> Für das n-te Glied gilt: (1/2^(n+1))*(x - 2)^n



Den Rest editiere ich später rein. Bis auf Newtonentwicklung, davon hab' ich keine Ahnung. http://www.multimediaxis.de/images/smilies/old/1/ugly.gif Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen. :) Wenn du noch Fragen hast, add mich halt in ICQ oder MSN. ^^

[Jinjukei]

Naja... ^^


ja klar :> sry! hab im nenner x+2 gelesen, einsetzen darfst du hier natürlich dann nicht, da du ja sonst durch 0 teilst (hatte heut ana prüfung ^^)


waya kannst mich auch addn falls du hilfe brauchst, hmm kann mir noch die mühe machen, das ganze mal zu texn oder dir einzuscannen falls großes interesse besteht, obwohl tabris ja nicht umsonst da sein sollte ^^
hmm les mir später noch den ganzen post von tabris durch und kuck obs ichs berichtigen kann :>

btw: approximieren heisst einfach annähern


edit:letzte aufgabe

also notwendiges kriterium von einem lokalen extremum ist das die ableitung null ist also
3ax^2+2bx+c = 0
dies ist aber eben nur notwendig und nicht hinreichend (notwendig heisst das man es braucht damit etwas eintritt aber nicht ausreicht und hinreichend heisst das es dieses etwas auf jedenfall eintritt, wenn das hinreichende kriterium erfüllt wird)
-> hinreichend ist aber wenn die 2. abbleitung ungleich Null ist, also
6ax+2b ungleich 0

[Waya Yoshitaka]

Danke ihr beiden, ihr habt mir schon sehr geholfen. ^_^
Toll wenn man mal weiß, was man wie rechnen muss. Da merkt man auch, das das Ganze auch relativ simpel ist. <<"

Beim Newton Verfahren hab ich das so teilweise verstanden, aber es will nicht das Richtige raus kommen. <<"
Bei Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren) steht noch was dazu, müsste es mir nochmal ansehen, aber das sieht schon wieder so bäh aus. -_-'

Gut das wenigstens nicht alle so Begriffsstutzig in Sachen Mathe sind wie ich. :p -_-' Werd mich nochmal melden, wenn ich nicht weiter komme. :) Mir fällt auch noch was ein, wo ich immer nicht so ganz weiß, aber da muss ich nochmal schaun, stells dann später noch rein. ^_^