Extremwert Rechnung

[Mopry]

Hallo Leute!

Langsam gehts auf die Abschlussarbeiten zu und ich kapiere diese Extremwert Rechnung und alles drum rum überhaupt nicht.

Wollte mal fragen ob mir das jemand an einer Beispielaufgabe erklären könnte.
Die Aufgabe ist aus der Arbeit vom letzten Jahr.



Gegeben ist die Funktion f:x-> 1/5x³ - 2/5x² -3x x€R
Untersuchen sie die Funktion hinsichtlich:

a) Symmetrieeigenschaften, D, W, Schnittüunkt mit der y-Achse
b) Nullstellen (Ausgangsfuntiob, 1. und 2. Ableitung)
c) Extrempunkte
d) Wende- und Sattelpunkte, Wendetangente
e) Skizzieren sie den Graphen der Funktion im Intervall [-4<x<6]
f) Steigen und Fallen, Krümmungsverhalten


Die Ableitungen krieg ich noch hin. Formeln haben wir eigentlich so gut wie keine. Und was hat es mit diesem Intervall auf sich? :confused:

Und bei dieser Aufgabe wüsste ich noch ncht mal wie ich anfangen müsste:



Eine Parabel dritter Ordnung geht durch den Koordinatenursprung und hat in Pw(1/-2) ihren Wendepunkt. Der Steigungsfaktor der Wendetangente ist mw=2. Bestimmen sie die Funktionsgleichung.


Vielen Dank schon mal im Vorraus.

[Golden Chocobo]

Original geschrieben von Mopry

e) Skizzieren sie den Graphen der Funktion im Intervall [-4<x<6]

Und was hat es mit diesem Intervall auf sich? :confused:


Der Intervall kennzeichnet die x-Koordinate. Also nach links geht es bis -4 und nach rechts bis +6. Du kannst das ganze auch länger zeichnen, aber du sollst dann deine Punkte nur dafür eintragen.

Zu den Extrempunkten, also wenn du die ersten beiden Ableitungen der Funktion gemacht hast, dann setzt du -als notwendige Bedingung- f'(x)=0 (wir haben noch so ein tollen Satz: f(x) hat eine Extremstelle an der Stelle xE <=> f'(xe)=0), das stellst du dann um, bis nur noch x auf einer Seite bleibt und auf der anderen Seite das eine Zahl. So dann kommt eine Zahl raus, diese setzt du dann - in der hinreichenden Bediung- ein, also f''(x)ungleich 0 du setzt die Zahl jetzt für x ein und wenn etwas <0 ist dann ist es ein Minimum und wenn es >0 ist dann ist es ein Maximum.
So nun weißt du was es ist, dann musst du das x was du erhalten hast aus der ersten Ableitung in die Grundgleichung einsetzen damit du den y-Wert bekommst. Dann schreibst du dann E(x;y).
Wendepunkte ist genauso, bloß dafür setzt du die zweite Ableitung 0 und die dritte Ableitung ist die Überprüfung und sollte ungleich 0 werden, wenn es gleich 0 wird, dann hast du ein Sattelpunkt, das sieht dann so aus wie eine Tangentsfunktion

Bei f weiß ich selbst nicht was gemeint ist vielleicht das verhalten im unendlichen oder monotnie.
Beim Verhalten im unendlichen machst du es so.
lim f(x)
x-->unendlich

für x setzt du dann Zahlen ein (10,100,1000) und dann siehst du ob es steigt oder fällt, dann schreibst du entweder: ---> unendlich oder gegen - unendlich oder gegen 0
das gleiche kannst du wenn x gegen - unendlich geht machen.

Mit dieser Parabel, mh ja, entweder eine dritte Ableitung oder eine veränderte Parabel, sorry hab nicht soviel Ahnung in Mathe^^

[Mopry]

Äh, ja danke...
Jetzt bin ich zwar noch etwas verwirrter als vorher, aber ich werd mir noch mal die Notizen aus dem Unterricht ansehen und nach deiner Methode rechnen.

Gut das ich jetzt weiß was es mit dem Intervall auf sich hat. Ich saß immer nur im Unterricht und habe nichts verstanden.... Die haben dann ja immer noch dieses Krümmungsverhalten mit in die Klammern geschrieben. ^__^

[Tabris]

Zur "Parabel dritter Ordnung"-Aufgabe:

Ich denke mal, mit Parabel dritter Ordnung ist ein Polynom dritten Grades gemeint, also (in allgemeiner Form):

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b

Wir wissen, dass der Graph durch den Ursprung geht, also können wir sagen:

f(0) = d = 0 => d fällt weg

Der Graph hat in P(1/-2) seinen Wendepunkt, also muss f(1) = -2 und f''(1) = 0 sein (notwendige Bedingung für Wendestellen)

Also können wir folgende Gleichungen aufstellen:

f(1) = a + b + c = -2
f''(1) = 6a + 2b = 0

Die Tangente am Wendepunkt hat die Steigung m = 2. Es gilt: f'(x) = m, wir können also mit Hilfe der ersten Ableitung die Steigung an der jeweiligen Stelle bestimmen. Es gilt also:

f'(1) = 3a + 2b + c = 2

Wir können nun mit den obigen Gleichungen ein lineares Gleichungssystem aufstellen und auflösen, um die einzelnen Werte zu berechnen:



I a + b + c = -2
II 6a + 2b = 0
III 3a + 2b + c = 2

III - I

IV 2a + b = 4

II - 2*IV

2a = -8 => a = -4

a = -4 in II einsetzen:

-24 + 2b = 0 => b = 12

a = -4 und b = 12 in I einsetzen:

8 + c = -2 => c = -10



Die Gleichung dieser Parabel dritter Ordnung lautet also f(x) = -4x^3 + 12x^2 - 10x

Wenn es dir hilft, kann ich auch noch eben die erste Aufgabe durchrechnen.

[Strato]

Ich erklär dann mal die ersten Aufgabe...

a) Definitionsbereich und Wertebereich sind beide ganz R
Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0 => y=0 (also der Ursprung)
punktsymmetrisch zum Wendepunkt (wie alle Polynome dritten Grades)
b)
Eine Nullstelle ist bereits berechnet: (0|0)
Durch Ausklammern von x erhält man einen quadratischen Term, dessen Nullstellen man dann wahlweise mit Lösungsformel oder quadratischer Ergänzung berechnen kann, genau wie die Nullstellen der ersten Ableitung. Die zweite Ableitung ist linear, also sollte die Nullstelle kein Problem sein.

c)
Als Extrempunkte kommen nur die Nullstellen der ersten Ableitung in Frage. Setze sie in die zweite Ableitung ein, und da bei beiden Punkten die zweite Ableitung nicht Null ist, sind beides Extrema (ein lokales Minimum und ein lokales Maximum)

d)
Für Wende- und Sattelpunkte kommt nur die Nullstelle der zweiten Ableitung in Frage. Da die erste und dritte Ableitung dort ungleich Null sind, ist es ein Wendepunkt, aber kein Sattelpunkt.
Die Wendetangente hat folgende Form:
y = yw + m*(x-xw)
Hierbei sind (xw|yw) der Wendepunkt und m = f'(xw) die Steigung am Wendepunkt.

e)
am besten mit einer kleinen Wertetabelle und allen Punkten, die bisher ermittelt wurden

f) Steigen und Fallen:
Die Funktion steigt genau dann, wenn f'(x)>0 ist und fällt genau dann, wenn f'(x)<0 ist. Also steigt sie fast überall.
Krümmungsverhalten:
Die Funktion ist genau dann linksgekrümmt, wenn f''(x)>0 ist und genau dann rechtsgekrümmt, wenn f''(x)<0 ist.

Nochmal im Überblick: f(x)=0 => Nullstelle
f'(x)=0 und f''(x)<0 => Maximum
f'(x)=0 und f''(x)>0 => Minimum
f''(x)=0 und |f'''(x)|>0 => Wendepunkt
f'(x)=0 und gleichzeitig Wendepunkt => Sattelpunkt
Polynome von ungeradem Grad sind immer punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt, und Polynome von geradem Grad sind immer achsensymmetrisch.

[Mopry]

Huuuh, Danke!
Mal sehen ob ichs jetzt hinkriege.

Aber ich hab ja nun auch noch ein weiteres jahr zum Üben. Mein Abschluss ist ja jetzt schon nicht mehr zu schaffen.... ;__;

Das erste Mal in meinem Leben das ich ein Schuljahr wiederholen muss.
:'(