Rätsel: 3 Lügner sagen, dass es regnet

[Schattenläufer]

Hey Leute, mir wurde gerade ein Brainteaser (so heißen Rätsel jetzt!) gestellt, und zwar wie folgt:

Ich habe 3 Freunde in Mailand, die notorische Lügner sind - es besteht bei jedem eine 2/3 Chance (67%), dass er lügt. Ich möchte nach Mailand kommen und frage sie nach dem Wetter, und zwar ob es regnet. Sie sagen mir alle drei, dass es regnet.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss ich mit Regen rechnen?

Geht vor allem an die Mathematiker/Statistiker/Informatiker unter uns. ;) Sollte ja eigentlich einfach sein, oder?!

Hier mal meine Antwort und ein paar Fragen im Spoiler:
Ich habe geantwortet, dass meine Chance 1-(2/3)^3 entspricht, aber ich bin mir nicht sicher ob das stimmt. Denn die Sache ist ja: wenn einer von ihnen lügt, müssen alle lügen, immerhin sagen sie dasselbe. Sollte dann die Chance nicht einfach wieder 2/3 sein? Oder muss ich dann irgendwie "Fall 1 - es regnet" und "Fall 2 - es regnet nicht" betrachten? Aber spielt DANN nicht eine Rolle, wie hoch die Regenwahrscheinlichkeit in Mailand generell ist? Denn Fall 1 und 2 sind ja nicht unbedingt 50:50.
Sprich... erklärt mir, was hier los ist, ich hab das Gefühl etwas zu übersehen. ^^

P.S. Das war Teil eines Vorstellungsgesprächs, deswegen hab ich die Antwort nicht. Und im Internet hab ich das Rätsel nicht gefunden.

[Liferipper]

Mein erster Instinkt war mit Wahrscheinlichkeitsrechnung zu antworten. Dann ist mir aufgegangen: Keiner von denen sollte mit 100% Wahrscheinlichkeit das Wetter exakt vorhersagen können. Ergo rufe ich wikipedia auf, und die sagt mir, dass es in Mailand im Januar durchschnittlich 7,2 Regentage gibt, ergo beträgt die Regenwahrscheinlichkeit an einem bestimmten Tag ~23%. ;D

[dasDull]

Also ich würde das so angehen. Sei R das Ereignis, dass es regnet, 3A das Ereignis, dass alle 3 Leute sagen, dass es regnet. Mit Bayes ergibt sich:

p(R | 3A) = \frac{p(3A | R) * p(R)}{p(3A | R) * p(R) + p(3A | not R) * (1 - p(R))} = \frac{\frac{1}{27} * p(R)}{\frac{1}{27}p(R) + \frac{8}{27}(1 - p(R))}

Ich hoffe das mit dem Tex funktioniert, benutze das zum ersten Mal hier.
Das hängt also von der Regenwahrscheinlichkeit ab. Macht aber auch Sinn. Wenn die Regenwahrscheinlichkeit z.B. 1 ist, so regnet es auf jeden Fall, egal was die Leute sagen.
Edit: Das ist unter der Annahme, dass die 3 Menschen unabhängig voneinander antworten. :)

Edit: Ok hat nicht geklappt. Hier als Bild: 23070

[Schattenläufer]

Gott, Statistik ist echt nicht meins. >_>
Aber ja, das klingt logisch. Und wenn ich die Regenwahrscheinlichkeit nicht weiß, kann ich sie immer noch auf 50% schätzen und erhalte dann das Ergebnis, das rein aus meinem Test herrührt. Welches komplett anders ist als mein eigenes Ergebnis. (Verdammt!)

Wenigstens war ich über die richtigen Punkte verwirrt. Es interessiert mich ja gar nicht, wie wahrscheinlich es war, dass sie dasselbe antworten, sondern wie hoch die Wahrscheinlichkeit einer Lüge vs. einer Nicht-Lüge für diese Situation ist.