Integralrechnung

[Pepo]

Heyo, ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe die ich neulich in einem Test hatte, leider bin ich nicht selbstständig auf die Lösung gekommen.

Aufgabe:

Bestimmen Sie k>4 so, dass der Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f(x)=x²-3x-4 mit der x-Achse und den senkrechten Geraden x=0 und x=k einschließt, 37 1/3 FE beträgt.


Die Musterlösung sieht wie folgt aus:

Die Nullstellen der Funktion bestimmen, diese wären dann: -1 und 4.

Die NST -1 ist nicht weiter in Betracht zu ziehen(siehe Angabe).

Nun wird der Flächeninhalt von x=0 bis x=4 errechnet, dieser beträgt 18 2/3 FE.

Da die Gesamtfläche 37 1/3 FE beträgt muss die Fläche die von x=4 bis x=k eingeschlossen wird auch 18 2/3 FE groß sein.

Das heißt beide Flächen voneinander abgezogen müssen 0 ergeben.

Jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe.



Wir schreiben: 18 2/3=[Stammfunktion von x=4 bis x=k] - [Stammfunktion von x=0 bis x=4]

Die Gleichung lösen wir so auf: 0=[Stammfunktion von x=4 bis x=k]

Dann kann man, in dem man ein k ausklammert, die drei Nullstellen errechnen, von dennen 6,38 die richtige Lösung für k ist.



Mein Problem bei der Sache ist jetzt, das ich nicht verstehe warum "18 2/3=[Stammfunktion von x=4 bis x=k] - [Stammfunktion von x=0 bis x=4]" ist.

Eigentlich müsste die Gleichung doch so aussehen: 0 =[Stammfunktion von x=4 bis x=k] - [Stammfunktion von x=0 bis x=4]

Das Ergebniss wenn wäre ja schließlich 0.

Und dann so aufgelöst werden: -18 2/3=[Stammfunktion von x=4 bis x=k]

Dann müste man per Polynomdivision die NST bestimmen.



Stattdessen lösen wir die Frage vereinfacht gesagt so: 0=[Stammfunktion von x=4 bis x=k]

Kann mir da einer Verständnisshilfe leisten;)?

[Zelretch]

Ehm, ich bin mir ziemlich sicher dass diese Zeile:
18 2/3=[Stammfunktion von x=4 bis x=k] - [Stammfunktion von x=0 bis x=4]
so nicht stimmt.
Die Zeile müsste lauten:

18 2/3=[Stammfunktion von x=4 bis x=k] (*)

oder

18 2/3=[Stammfunktion von x=0 bis x=k] - [Stammfunktion von x=0 bis x=4]

Kannst es ja mal nach rechnen, da bekommt du dann 3 Nullstellen, von denen eine 6,381 ist. Wenn du deine Formel aus rechnest kommt definitiv etwas anderes raus. Vermutlich hast du die untere Integralgrenze vergessen?

Es geht ja um die Absoluten flächeninhalte, daher können wir nicht einfach
\int_{0}^k x^2-3x-4\,dx
schreiben, sondern müssen zwischen 1.) unter der X Achse und 2.) über der X Achse unterscheiden. Von 0 bis 4 ist der Flächeninhalt negativ, und er beträgt -18 2/3 FE. D.h. es fehlen nach x = 4 noch 18 2/3 FE an Flächeninhalt. Und genau das rechnest du mit obiger Formel (*) aus.

[Pepo]

Ehm, ich bin mir ziemlich sicher dass diese Zeile:
18 2/3=[Stammfunktion von x=4 bis x=k] - [Stammfunktion von x=0 bis x=4]
so nicht stimmt.
Die Zeile müsste lauten:

18 2/3=[Stammfunktion von x=4 bis x=k] (*)

oder

18 2/3=[Stammfunktion von x=0 bis x=k] - [Stammfunktion von x=0 bis x=4]

Kannst es ja mal nach rechnen, da bekommt du dann 3 Nullstellen, von denen eine 6,38 ist. Wenn du deine Formel aus rechnest kommt definitiv etwas anderes raus. Vermutlich hast du die untere Integralgrenze vergessen?

Es geht ja um die Absoluten flächeninhalte, daher können wir nicht einfach
\int_{0}^k x^2-3x-4\,dx
schreiben, sondern müssen zwischen 1.) unter der X Achse und 2.) über der X Achse unterscheiden. Von 0 bis 4 ist der Flächeninhalt negativ, und er beträgt -18 2/3 FE. D.h. es fehlen nach x = 4 noch 18 2/3 FE an Flächeninhalt. Und genau das rechnest du mit obiger Formel (*) aus.

Du hast recht, wenn ich aus der Ursprungsfunktion die Nullstellen errechne erhalte ich die NST 6,38, dann kann ich mit 18 2/3=[Stammfunktion von x=4 bis x=6,38] beweißen das die Aussage war ist.

Man, schade das ich da so eine Hirnblockade hatte, bin gar nicht auf die Idee gekommen xD.

Danke für die Hilfe :).