Kompaktheit von Funktionen

[Kadaj]

Ich bräuchte mal ein wenig Hilfe mit Mathe. Es geht um die Kompaktheit von Funktionen und ob diese konvex sind oder nicht.
Mir ist klar, dass Funktionen nur kompakt sind, wenn sie beschränkt und abgeschlossen sind. Aber woran erkenne ich das (also ohne die Funktion zu zeichnen)?

Ein einfaches Beispiel:
Funktion in einer Ebene:
M={bla... I 2x1+x2-x3=10}

Laut der Lösung ist sie weder abgeschlossen noch beschränkt, aber woran sehe ich das? Und wie sehe ich ob die Funktion konvex ist, oder nicht? Ist vermutlich eine ziemlich simple Angelegeneheit, aber ich steig nicht so recht dahinter...

[YoshiGreen]

Ich sehe da keine Funktion sondern eine Menge.
M := \{ x \in \mathbb{R}^3 ~|~ 2x_1+x_2-x_3=10\}


Beschränkt wäre sie, wenn du sie in einen epsilon-Umgebung pressen kannst.
Abgeschlossen ist sie, wenn das Komplement offen ist. (wenn ich da so drauf gucke sieht die aber recht abgeschlosesn aus...).

Generell gab es einen Stolperstein mit Abgeschlossen+Beschränkt <=> Kompakt. Ich glaube im unendlichdimensionalen (und bei ein paar andere Fällen) gilt "=>" nicht mehr. Prüfe dies unbedingt bevor du es damit beweisen willst!

Konvexheit bedeutet, dass für zwei beliebige Punkte x,y aus deiner Menge auch die Verbindungslinie zwischen diesen Punkten komplett in der Menge liegt.
M konvex gdw für alle x,y aus M gilt \lambda x + (1- \lambda) y \in M für 0 \leq \lambda \leq 1.

Ist dies soweit hilfreich?

[Kadaj]

danke erstmal.

jo, genau, menge. meinte ich ja :D

beweisen muss ich nix. es reicht die angabe, obs kompakt ist oder nicht, also lieg ich zu 50% schonmal richtig, auch wenn ichs nicht weiß. ;)
und die oben stehende menge ist laut lösung (zumindest die, die wir aufgeschrieben haben) definitiv weder beschränkt noch abgeschlossen.

wirklich weitergeholfen hat mir das jetzt nicht ^^
ich kann weder mit epsilon umgebung noch komplement was anfangen und bei der konvexität weiß ich jetzt auch nicht wirklich, wie ich erkenne, ob die verbindungslinie in der menge liegt.

also bei einigen mengen sehe ich schon, ob sie beschränkt ist oder nicht (z.b. wenn sie zwischen zwei vorgegeben zahlen liegt) aber meistens ist das für mich nur ne raterei... ich bräuchte da eher so eine erklärung für anfänger, wie man sowas sieht. ^^

[Drakes]

ich kann weder mit epsilon umgebung noch komplement was anfangen
Eine Epsilon Umgebung ist vereinfacht gesagt eine Kugel, also alle Punkte mit maximalem Betrag Epsilon, genauer hier: http://uni-wiki.mayastudios.net/index.php/Epsilon-Umgebung
Es muss also eine obere Schranke des Betrags, hier die Länge, geben, dann ist die Menge beschränkt.

Das Komplement einer Menge M enthaltet alle Punkte des Universums die nicht in M sind. (Das Universum ist z.B. die reelen Zahlen)
Beispiel: Komplement von (∞, 4] ist gleich (4, ∞) (Achtung bezüglich den Klammern)

[gas]

Ich kenne Kompaktheit nur als Eigenschaften von Mengen in topologischen Räumen. Ich vermute mal, eine Funktion f: X ---> Y heißt kompakt wenn ihr Graph eine kompakte Menge in X x Y (mit der normalen Produkttopologie?) ist? Oder ist es eine Funktion, die kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbildet? Ich kenne den Begriff nicht, und ich kann auch spontan keine Definition finden.

[Drakes]

Ich kenne Kompaktheit nur als Eigenschaften von Mengen in topologischen Räumen. Ich vermute mal, eine Funktion f: X ---> Y heißt kompakt wenn ihr Graph eine kompakte Menge in X x Y (mit der normalen Produkttopologie?) ist? Oder ist es eine Funktion, die kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbildet? Ich kenne den Begriff nicht, und ich kann auch spontan keine Definition finden.
Er wollte ja eigentlich auch wissen, wie man bestimmen kann, ob eine Menge kompakt ist.

M := \{ x \in \mathbb{R}^3 ~|~ 2x_1+x_2-x_3=10\}

[Kadaj]

Eine Epsilon Umgebung ist vereinfacht gesagt eine Kugel, also alle Punkte mit maximalem Betrag Epsilon, genauer hier: http://uni-wiki.mayastudios.net/index.php/Epsilon-Umgebung
Es muss also eine obere Schranke des Betrags, hier die Länge, geben, dann ist die Menge beschränkt.

Das Komplement einer Menge M enthaltet alle Punkte des Universums die nicht in M sind. (Das Universum ist z.B. die reelen Zahlen)
Beispiel: Komplement von (∞, 4] ist gleich (4, ∞) (Achtung bezüglich den Klammern)

ok, aber so richtig verstanden, wie ich nun erkenne, ob sie nun abgeschlossen oder beschränkt ist, hab ich immer noch nicht. nur, wenn ich sie mir bildlich vorstellen könnte, aber das bekomm ich eh nicht hin. kannst du (oder auch jemand anderes) mir an hand der menge da oben das evt. irgendwie zeigen?

[noRkia]

man muss hier die verschiedenen definitionen der kompaktheit auseinander halten.

da die menge genau parametrisiert ist und der R^n offensichtlich ein metrischer raum,würde ich den topologischen kompaktheitsbegriff erstmal aussen vorlassen.
beschränkt und abgeschlossen kann man also hier als definition nehmen.

[gas]

Die Menge M := \{ x \in \mathbb{R}^3 ~|~ 2x_1+x_2-x_3=10\} ist nicht kompakt, weil sie nicht beschränkt ist. Du kannst in einer beliebigen Entfernung vom Nullpunkt immernoch Punkte von M finden.

Definiere z_n := (0, n, n-10) \in \mathbb{R}^3. Das ist eine Folge von Punkten im \mathbb{R}^3 mit d(z_n,0) \rightarrow \infty für n \rightarrow \infty. Offenbar ist z_n \in M.
M ist beschränkt, genau dann wenn es eine \epsilon-Umgebung B_\epsilon (0) = \{ x \in \mathbb{R}^3 ~|~ d(x,0) \leq \epsilon \} gibt, so dass M \subseteq B_\epsilon (0). Aber da der Abstand d(z_n , 0) gegen \infty geht, gibt es immer Punkte z_n, die nicht in B_\epsilon (0) liegen.
Du kannst natürlich auch direkt sagen, dass Bedingung 2x_1 + x_2 - x_3 = 10 eine Ebene beschreibt und die Menge M deshalb nicht beschränkt ist, also auch nicht kompakt.

[YoshiGreen]

Als anschauliches Beispiel kannst du sagen eine Menge ist beschränkt wenn du sie in einen "Sack" packen kannst. Der mathematische Sack ist halt meistens die epsilon-Umgebung. Wie schon gesagt eine Kugel/Ball wo du die Menge "reinlegst". Das heißt, den Mittelpunkt verschieben. Das Beispiel endet in unserer realen Welt, weil zumindest ich keine unendliche Fläche in meiner Wohnung habe. Auch mein Lappi ist recht endlich ;) Aber die Vorstellung ist recht anschaulich.

Das Kompement wurde ja schon am Beispiel gezeigt (Drakes hat ein Minus vergessen -kichert- :P). Ein bisschen einfacher, weil simpler weil Endlich wäre die Menge M := {a, b ,c} und die A :={a], dann ist das Komplement von A in M genannt M\A = {b,c}.

Eine Menge ist nun abgeschlossen wenn ihr Komplement im Raum offen ist. Die Frage ist, wie fit bist du nun mit Offenheit - mehr Erklärung? Vielleicht der wichtigste Stolperstein ist, die Definition.
Weil eine Menge kann offen sein oder nicht, peng. Und dann guckst du weiter ob sie abgeschlossen ist (D.h. du überprüfst ob das Komplement, also einfach eine andere Menge offen ist.) Du tust also das gleiche nochmal mit einder anderen Menge. Und damit entscheidest du nach der Definition oben ob deine erste Menge abgeschlossen ist.
Damit können Mengen gleichzeitig offen und abgeschlossen aber auch gar nichts von beidem sein. Und nebenbei kriegst du für das Komplement auch heraus ob sie offen und/oder abgeschlossen ist. Vielleicht irritierend weil du mit vergleichsweise wenig Arbeit relativ viel Information bekommst. (OK, Beispiele sind nicht super einfach aber dennoch simpel. Ich denke die reellen Zahlen ohne ein Intervall, meinetwegen R\(1;2) , wäre so mit das einfachste wo beide Komponenten offen und abgeschlossen sind.)


da die menge genau parametrisiert ist und der R^n offensichtlich ein metrischer raum,würde ich den topologischen kompaktheitsbegriff erstmal aussen vorlassen.
beschränkt und abgeschlossen kann man also hier als definition nehmen.
Genau das meinte ich am Anfang, dass abgeschl.+beschr. nicht immer gilt, in diesem Beispiel aber sehr wohl. Wenn wir richtig topologisch werden, kommen ja ganz andere Theoreme zum Vorschein aber wir sind hier ein bisschen grundlegener - ist doch nicht verkehrt.


Du kannst natürlich auch direkt sagen, dass Bedingung http://www.multimediaxis.de/cgi-bin/mimetex.cgi?2x_1%20+%20x_2%20-%20x_3%20=%2010 eine Ebene beschreibt und die Menge http://www.multimediaxis.de/cgi-bin/mimetex.cgi?M deshalb nicht beschränkt ist, also auch nicht kompakt.
Ich denke gerade darüber nach und einfach als ehrlicher Kritik denke ich, die Lösung ist so sicher nicht ganz korrekt. Der klassische Fall von -1 oder 2 Punkten weil es unklar ist, die Idee aber verstanden wird. Ich persönlich stoße mich nämlic an der Aussage "[gleichung] eine Ebene beschreibt und (...) deswegen nicht beschränkt ist". Wie gesagt ich weiß was du meinst aber was genau meinst du mit Ebene? Wenn du zum Erklären die Gleichung nimmst wäre ein Schluß der Richtung "7x+y=5 ist eine Linie weil sie mit 7x+y=5 beschrieben wird". Ungefähr klar geworden?
Und dann würde ich noch fragen warum eine Ebene denn nun so unbedingt beschränkt ist. Die einfachste Antwort wäre mit der allgemeinen Gleichung zu zeigen, dass es nicht klappt. Sehr elegant und eine super Lösung - es müsste halt nur ausgeschrieben werden.
Aber vielleicht hattest du das auch alles im Kopf und nur nicht hingeschrieben, ich wunderte mich halt ;)

[Kadaj]

danke für die erklärungen. ich glaub aber immer noch nicht, dass ich das verstanden habe. naja, was solls, der kommilitone, der in der regel bei den prüfungen neben mir sitzt, kann den ganzen mathekram, da verlass ich mich einfach auf den. und mehr als 3-4 punkte gibts für den aufgabenteil eh net. :D

[YoshiGreen]

Naja, es sind recht grundlegene Details die später immer mal wieder auftauchen. Scheu dich also nicht weiter Fragen zu stellen. Am einfachsten wäre es natürlich, wenn du raus suchen würdest wie ihr alles definiert habt, dann können wir es natürlich besser, weil näher an dir, erklären :)

[Kadaj]

Naja, es sind recht grundlegene Details die später immer mal wieder auftauchen. Scheu dich also nicht weiter Fragen zu stellen. Am einfachsten wäre es natürlich, wenn du raus suchen würdest wie ihr alles definiert habt, dann können wir es natürlich besser, weil näher an dir, erklären :)

ich studier bwl, glaub nicht, dass das zeug nochmal dran kommt. wie das bei uns in mathe definiert ist, weiß ich net, war dieses semester noch net in der vorlesung... is mir zu viel schreiberei und die klausuren sind eh jedes jahr fast gleich, nur mit anderen zahlen. is auch so ziemlich die einzige sache, die ich net kapier...is also net soooo schlimm, dass ich das net weiß. ;)

[gas]

Ich finde es immer ganz anschaulich, mir offene Mengen als Mengen mit ausgefranstem Rand vorzustellen, während abgeschlossene Mengen einen scharfen Rand haben. Wenn du zum Beispiel im offenen Intervall (a,b) herumspazierst, kannst du von unten beliebig dicht an die obere Grenze b herangehen, aber du erreichst sie nie, weil b ja nicht im offenen Intervall liegt.
Beim abgeschlossenen Intervall [a,b] hingegen kann man bis direkt an den Rand gehen, weil a und b zu [a,b] dazugehören. Und sobald man auch nur einen winzigen Schritt weiter geht, fällt man sofort aus dem Intervall raus.

Man könnte es auch so ausdrücken. Wenn du einen Punkt in einer offenen Menge nimmst und ein ganz kleines bisschen an ihm wackelst, dann bleibt er trotzdem noch in der Menge. An der oberen Grenze b eines abgeschlossenen Intervalls [a,b] hingegen kannst du nicht wackeln, denn sobald sie ein kleines bischen größer wird, liegt sie schon nicht mehr im Intervall.