Homogenität von Funktionen

[Kadaj]

moin

kann mir einer eventuell mal erklären wie man den grad der homogenität einer funktion bestimmt? ich check das mal sowas von absolut gar nich. ich kann nich mal was mit der definition des begriffes anfangen. aus den aufzeichnungen vom prof werd ich auch nich wirklich schlau. das einzige was ich irgendwie gecheckt hab, dass man die x bzw. y werte mit lambda multiplizieren und lambda dann irgendwie ausklammern muss. aber das is mir schon zu hoch.
könnte mir das evt. jmd an hand dieser funktion erklären?
f(x,y)= Wurzel aus (2xy+4y²)
das wäre sehr nett
und woran erkenne ich ob eine funktion überhaupt homogen ist oder nicht?

[Mog]

Das ist doch nicht so tragisch: Schau dir einfach einmal die Definition an:

f(λx, ... ,λy) = λ^r*f(x, ..., y)

Und da setzt du jetzt einfach mal eine Runde auf beiden Seiten ein, und schaust nach, ob das für ein bestimmtes r hin kommt. Wenn die Gleichung für ein r erfüllt ist, ist die Funktion homogen. Wenn nicht, dann inhomogen. Was genau dahinter steckt, steht bestimmt irgendwo auf Wikipedia. Wahrscheinlich erzählt dir der Artikel dort etwas über Thermodynamik, oder so etwas.

Da mir auch keiner meine Aufgaben macht, hier ein anderes Beispiel, aus meinem alten Mathe-Buch. (Die Beispiele sind da ohne Lösung, und es ist schon spät. Fehler also vorbehalten.)

Angabe:
f(x, y) = a*x^b * y^c (a, b, c E R.)

Wir bestimmen die passende Gleichung für unsere Funktion aus der tollen Definition
f(λx, λy) = λ^r * f(x, y)

Wir setzen ein, und versuchen r zu bestimmen:
f(λx, λy) = λ^r · f (x, y)
a * (λx)^b * (λy)^c = λ^r * (a * x^b * y^c )
a * λ^b * x^b * λ^c * y^c = λ^r * (a * x^b * y^c )
λ^(b+c) * (a * x^b * y^c ) = λ^r * (a * x^b * y^c )

r = (b+c), E R -> homogen.

[Kadaj]

danke

ich glaub sogar, dass ichs verstanden hab. das r muss ich aber nicht unbedingt mitschreiben oder? das verwirrt mich ein wenig. und nachdem ich jetzt 2solcher teile gerechnet hab, komm ich irgendwie zu dem schluss, dass ich quasi einfach nur die potenzen addieren muss um aufs ergebnis zu kommen, kann das sein? und wie ist das bei ner gebrochen rationalen funktion? muss ich da jeweils nenner und zähler mit lamda multiplizieren+ausklammern und anschließend wegkürzen? und wenn ich da jetz im nenner wie auch im zähler z.b. lambda^4 habe kürzt es sich ja weg und ergibt quasi 0. ist die funktion dann nicht homogen, oder eben homogen an der stelle 0?

[YoshiGreen]

Du musst an jeder Stelle wo ein Argument auftaucht mit Lambda multiplizieren bei f(x,y)=\frac{x^a}{y^b} überprüfst du also:
\frac{(\lambda*x)^a}{(\lambda*y)^b} = \lambda^r*\frac{x^a}{y^b}


und wenn ich da jetz im nenner wie auch im zähler z.b. lambda^4 habe kürzt es sich ja weg und ergibt quasi 0Achtung, der Begriff "quasi" wird hier gerade sehr strapaziert!

[gas]

Sowas wie "homogen an der Stelle 0" habe ich noch nie gehört. Homogenität ist keine lokale Eigenschaft, die man an bestimmten Punkten untersucht. Du prüfst ja für ein allgemeines Element (x,y) im Definitionsbereich (in der Regel der ganze IR²), und nicht etwa nur für einen einzelnen Punkt, z.B. (1,3).

Wenn du eine gebrochen rationale Funktion hast, geht es genauso wie immer: f(\lambda x,\lambda y) hinschreiben und solange umformen, bis da \lambda^{r} f(x,y) steht. Wenn du das so umformen kannst, dann weißt du, dass die Funktion homogen vom Grad r ist. Wenn du es nicht so umformen kannst, dann ist die Funktion nicht homogen.

Ein Beispiel, bei dem du nicht so umformen kannst, ist z.B. f(x,y) = \log (x+y). Da ist nämlich f(\lambda x, \lambda y) = \log (\lambda x + \lambda y) = \log(\lambda \cdot (x+y)) = \log ( \lambda ) + \log (x + y) = \log ( \lambda ) + f(x+y)

[Mog]

danke

ich glaub sogar, dass ichs verstanden hab. das r muss ich aber nicht unbedingt mitschreiben oder? das verwirrt mich ein wenig. und nachdem ich jetzt 2solcher teile gerechnet hab, komm ich irgendwie zu dem schluss, dass ich quasi einfach nur die potenzen addieren muss um aufs ergebnis zu kommen, kann das sein? und wie ist das bei ner gebrochen rationalen funktion? muss ich da jeweils nenner und zähler mit lamda multiplizieren+ausklammern und anschließend wegkürzen? und wenn ich da jetz im nenner wie auch im zähler z.b. lambda^4 habe kürzt es sich ja weg und ergibt quasi 0. ist die funktion dann nicht homogen, oder eben homogen an der stelle 0?

Wie kommst du darauf, dass du eine Potenz wegwerfen kannst? Bzw: Wie kommst du darauf, dass du eine Variable weg werfen kannst, die du für deinen Beweis brauchst? das r steht doch im Mittelpunkt deiner Aufgabenstellung.

[Kadaj]

ok, habt dank. wir habens heute auch nochmal durchgenommen und ich glaube, dass ichs soweit verstanden hab.
@mog: ich wusste erst nicht genau, was du mit r meinst. wir benutzen q. allerdings auch nur am ende um halt das ergebnis auszudrücken. innerhalb der rechnung ist das nicht mit dabei. ka warum, is mir auch egal. je unkomplizierter desto besser .

ps: das wird auch sicher nich mein letzter mathethread hier gewesen sein, so wenig wie ich in den vorlesungen löffle. ^^