Mathewiederholungen, wtf?

[Ianus]

Ich gehe gerade ein paar alte Bücher durch und komme nicht darauf, warum ich gewisse Aufgaben nicht korrekt löse.

z.B. die hier wurmt micht:

(((-2,4)^3/(0,8^3)): (3/2)^3)+[(-2)^3]^2

Ich leite das so ab:

=((-2,4/0.8)^3: (3/2)^3)+(-2)^5

Da ich Divisionen mit gleichen Exponenten so zusammen fassen kann und Potenzen Potenziert werden, indem man das Produkt der Exponenten erzeugt.

In weiterer Folge kann ich diese noch einmal anwenden und die Bruchrechnung umformen:

=((-2,4*2)/(0.8*3))^3+(-2)^5

Ergibt:

(-2)^3+(-2)^5=-9+(-32)=-41

Laut Buch sollte das Ergebnis 56 sein.

[Turgon]

Ich bin grad dabei die Aufgabe zu lösen und hab schon einen ersten Fehler von dir entdeckt.
[(-2)^3]^2=(-8)^2=64 und nicht -32.

Da ich Divisionen mit gleichen Exponenten so zusammen fassen kann und Potenzen Potenziert werden, indem man das Produkt der Exponenten erzeugt.
Das ist richtig, aber du hast die Summe gebildet;)

So Jetzt zum anderen Teil der Gleichung:
(((-2,4)^3/(0,8^3)): (3/2)^3)

Ich würde zuerst die linke Seite betrachten:
((-2,4)^3/(0,8^3)) Das wird zusammengefasst:
(-2,4/0,8)^3 =(-3)^3

Damit hätten wir dann (-3)^3: (3/2)^3 was zusammengefasst folgendes gibt:
((-3*2)/3)^3

Wenn wir dann beide Teile zusammenfügen ergibt sich:
(-2)^3+64=-8+64=56

[Ianus]

Hmm, danke. Muss in Zukunft wohl immer versuchen, bis Ultimo aufzulösen bevor ich den nächsten Rechenschritt angehe.

Jep, hat bei der zweiten, ähnlich beschaffenen Aufgabe funktioniert. Danke.

[Turgon]

Nicht unbedingt, das war einfach nur meine Methode.
Deine hat ja auch geklappt, du hast nur den Fehler gemacht, die Potenzen zu summieren anstatt zu multiplizieren und du hast am Ende anstatt -2^3 -3^2 gerechnet. Ansonsten hat ja alles gestimmt.

[Ianus]

Kannst du mir auch erklären, warum bei x^-1*y=1 herauskommen soll?

So wie ich das umstelle, kommt maximal y/x heraus.

Und...was mich mehr wurmt:

(3*2^-3*10^-3)/(4^-6*5^-3*6^-1)=9*2^7

angeblich.

Mein Lösungsweg endet nach der Umstellung zu:

(3/2^3)*(1/10^3)*(4^6/1)*(5^3/1)*(6^1/1) oder (3*4^6*5^3*6^1)/(2^3*10^3)

Wo ich keine gemeinsame Basen mehr habe und sonst auch keine Rechenregel anwenden kann...vermutlich bin ich einfach fully retard, wenn es an diese spezielle Aufgabe kommt.

[Turgon]

Ich bin mir nicht ganz sicher.
Also wenn man das anders aufschreibt, hätte man ja
y/x=1 => y=x
Wenn man für y dann x einsetzt, steht da x/x=1, was ja stimmt.
Dann hätte man aber die Lösung einer Gleichung wieder in die Gleichung eingesetzt, wodurch dann ja klar ist, dass sie stimmt.
Da bin ich überfragt:confused:

[Brauni90]

@Turgon:
Dafuer setzt du allerdings die Behauptung voraus ;). Aber du hast das schon richtig erkannt, dass x=y gelten muss.

x^{-1} \cdot y=1 gilt fuer x=y, mal abgesehen von x=y=0 ...

\frac{3 \cdot 4^6 \cdot 5^3 \cdot 6}{2^3 \cdot 10^3} = 9 \cdot 2^7 gilt es aufzuloesen, wenn du es so nennen moechtest. Um dir auf die Spruenge zu helfen: 4=2^2

[Ianus]

\frac{3 \cdot 4^6 \cdot 5^3 \cdot 6}{2^3 \cdot 10^3} = 9 \cdot 2^7 gilt es aufzuloesen, wenn du es so nennen moechtest. Um dir auf die Spruenge zu helfen: 4=2^2
Ich weiß, auf was du hinaus willst, aber ich bin mathematisch blind. :A

btw, weiteres Problem mit dieser Aufgabe:

1-a^-2*(1-a^-2+a^2) = (-1/a^2)+(1/a^4)

Bei der Umwandlung per Distributionsgesetz kommt mir das raus:

1-(1/a^2)+a^2-(1/a^2)+(1/a^4)-(a^2/a^2)

Was ich dann umwandle in:

-(2/a^2)+a^2+(1/a^4)

Weder sehe ich, wie ich das a^2 wegbringen kann noch lässt sich das zweite -(1/a^2) entfernen. ATM scheint es mir, als hätte ich bei der Anwendung des Distributivgesetzes einen Fehler gemacht...

[Turgon]

Hier meine Lösung zu der Aufgabe:
1-(a^-2)*(1-(a^-2)+a^2)
Das ist die Anfangsgleichung, nun multipliziere ich alles in der Klammer mir -a^-2 und schreibe die Potenzen ohne Minus hin:
1-(1/(a^2))+(1/(a^4))-(a^2/(a^2))
Jetzt kürze ich a^2 und a^2:
1-(1/(a^2))+(1/(a^4))-1
Wenn ich jetzt die Einsen subtrahiere, komme ich auf das gewünschte Ergebnis:
-1/(a^2)+1/(a^4)

Du scheinst echt einen Fehler beim Distributivgesetz gemacht zu haben, weil ich nicht weiß, wie du auf die Auflösung kommst.
Das Distributivgesetz bedeutet ja folgendes:
a*(b+c)=a*b+a*c
Du multipzierst alles in der Klammer mit dem Multiplikator vor der Klammer, also alles blaue mit orange.
Bei deiner Aufgabe hätte -a^-2 die orangene Farbe und 1, -a^-2(in der Klammer) und a^2 die blaue Farbe.
Woher du jetzt das +a^2-(1/a^2) geholt hast, kann ich mir aber nicht erklären

[Ianus]

Naja, die Rechnung hatte links zwei 1 und a^-2 und auf der rechten drei, 1, -a^-2, +a^2 Elemente. Folglich habe ich die zwei links mit denen drei rechts multipliziert. Ich habe die ersten beiden Elemente so behandelt, als würde sie in einer Klammer stehen.

Ohne Klammer gilt wohl immer noch der Vorrang der Höheren Funktion. Das dürfte mein Fehler gewesen sein.

[Ianus]

Ihr ward sehr hilfreich, ich muss mich wirklich bedanken. :A

(x+y)/(x^-1+y^-1)

Ergebnis sollte "xy" sein, aber wen ich das auflöse, komme ich auf (x+y)(x+y), was bedeutet dass mein erster Schritt -

(x+y)/(x^-1+y^-1)=(x+y)/(1/(x+y)) schon falsch gewesen sein muss.

Die Rechnung endet für mich in:

((x+y)(x+y))/1=x^2+2xy+y^2

[MaxikingWolke22]

\large {\frac{x+y}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \ \ {erweitern\ im\ Nenner} \ = \ \frac{x+y}{\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}} \ = \ \frac{x+y}{\frac{x+y}{xy}}\ {,\ dann\ vereinfachen\ wir\ mithilfe\ von\ } \frac{a}{\frac{a}{b}}=b*\frac{a}{a}=1*b \ {und\ erhalten\ mit}\ b = xy \ {das\ Ergebnis.} }

Ich bitte um Verzeihung für die rahmensprengende Darstellung, ich bekomme keinen Zeilenumbruch hin.

[Ianus]

Kannst du mir zeigen, um was du erweitert hast? Die Erweiterung ist recht mysteriös für mich... ^^

[MaxikingWolke22]

Ich habe \large{\frac{1}{x}} mit y erweitert, und \large{\frac{1}{y}} mit x, dann haben wir in der Summer \large{\frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}} und damit \large{\frac{x+y}{xy}}. Anschließend nutzen wir, dass durch einen Bruch teilen der Multiplikation mit seinem Kehrwert enspricht. Dann haben wir also \large{\frac{x+y}{\frac{x+y}{xy}}} zu \large{\frac{xy}{x+y}*(x+y)}, die Summen kürzen sich heraus und übrig bleibt xy.

Wenn du zwei Brüche mit unterschiedlichem Nenner hast und diese addieren willst, musst du zunächst beide auf den gleichen Nenner bringen. Dazu kannst du möglicherweise auch den Bruch mit dem größeren Nenner kürzen, also wenn du etwa 2/4 und 1/2 addieren willst, oder den kleineren entsprechend erweitern, zu 1/2+1/2 bzw. 2/4+2/4. Wenn ein Nenner kein Vielfaches des anderen ist, musst du beide mit unterschiedlichen Zahlen erweitern, bis du den kgV vindest. Beispiel: 1/4 und 1/6, kgV von 4 und 6 ist 12, also 3/12 und 2/12. Und wenn die Zahlen noch nichtmal gemeinsame Primfaktoren haben, also teilerfremd sind (man sagt "relativ prim"), etwa 12(=2*2*3) und 35(=5*7), dann ist der kgV das Produkt der beiden Zahlen. Da wir über x und y nichts wissen, nehmen wir an, dass der kgV xy ist.

[Ianus]

Danke, ich hab's mit der Erklärung geschafft, die Methode erfolgreich anzuwenden.

ATM verwirrt mich dieses Beispiel: (0,9)^-(2/5)*0,81^-(2/5)=(0,9)^-(6/5)

Was soll ich hier machen? 0,9 und 0,81 unter eine Wurzel zusammen fassen? Die Klammer um 0,9 scheint sinnlos.

[MaxikingWolke22]

Ich interpretiere das mal als:

\Large{0.9^{\frac{-2}{5}} \cdot 0.81^{\frac{-2}{5}}}

das wäre, weil Multiplikation kommutativ ist, also
\Large{x^{a} \cdot\ z^{a} \ = \ (x \cdot z)^{a}},

\Large{(0.81 \cdot 0.9)^{\frac{-2}{5}} \ = \ (0.9^{3})^{\frac{-2}{5}}} und das ist dann:

\Large{0.9^{\frac{-2 \cdot 3}{5}}} und damit

\Large{0.9^{\frac{-6}{5}}}

Die Klammer ist tatsächlich sinnlos.

[Ianus]

Me stupid. :( Fällt mir inzwischen auf, dass es recht oft hilft, eine Pause zu machen und sich solche Probleme dann noch mal ohne Druck anzusehen. Bei denen hier komme ich aber auf keinen Grünen Zweig:

(2*(8)^1/2)^1/5=2^1/2

Die Exponenten sind als Wurzeln zu lesen.

Mein Lösungsweg war:

(2)^1/5*(2^2/3)^1/5=2^3/15*2^2/15=2^5/15=2^1/3

Was auch wieder nicht stimmt..

Und die hier:

(0,16(0,16(0,16^1/2)^1/2)^1/2 wieder als Wurzeln zu lesen. = 0,4^7/4

Was ich gemacht habe, ist teilweises Wurzelziehen und dann Umschreiben, womit ich hier ende:

(0,4*(0,4*0,4^2/2)^2/2)^2/2

Und dann setzt irgendwie das Hirn aus..

[Sylverthas]

(2)^1/5*(2^3/2)^1/5=2^2/10*2^3/10=2^5/10=2^1/2

Hast Dich eigentlich nur verrechnet / verschrieben:)


Bei der 2. Aufgabe rechnet man folgendes:

(0,4^2*(0,4^2*0,4^2/2)^1/2)^1/2=
(0,4^2*(0,4^3)^1/2)^1/2=
(0,4^2*0,4^(3/2))^1/2=
(0,4^(7/2))^1/2=
0,4^(7/4)

Die Potenzen kann man hier nicht so "nach hinten ziehen", wie Du es machen wolltest, weil sich die Wurzeln auf mehr als nur den jeweiligen Term mit 2-er Potenz beziehen,z.B.
(0,4^2*0,4^2/2)^1/2=0,4*0,4^(1/2)

[Brauni90]

Dein Loesungsweg ist in Ordnung, allerdings ist dir wohl ein kleiner Dreher untergekommen.
8^{\frac{1}{2}} entspricht 2^{\frac{3}{2}}, nicht jedoch 2^{\frac{2}{3}}

Und hier hast du wahrscheinlich eine Klammer vergessen. Damit sollte es funktionieren.
(0,16 \cdot (0,16 \cdot (0,16^{\frac{1}{2}}))^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}

[Ianus]

Gawddamn, danke. Die Flüchtigkeitsfehler bringe ich immer noch nicht zu 100% weg, aber der Lösung komme ich nahe genug.

Hier sind zwei Aufgaben, die ich ums Verrecken nicht lösen kann:

((3/5)^(1/2)*(10^(1/3)))/(4/5^(1/6)) = 3^1/2

und

(36^1/3-9^1/3)*6^1/3 = 6-3*2^1/3

Ich finde nicht mal einen anständigen Ansatz...

[MaxikingWolke22]

Versuche, dadurch einfach die Rechenregeln anzuwenden:

x^-a = 1/x^a
x^(1/z) = z-te Wurzel von x

wenn du es morgen nicht schaffst, bin ich nüchtern und gebe den Lösungsweg. :)

[Zelretch]

Ist die Aufgabe nicht gelöst wenn man mit dem Nenner Multipliziert und den gesamten Term quadriert? Also:
http://npshare.de/files/b7bde74f/Unbenannt-2.png

[Ianus]

Versuche, dadurch einfach die Rechenregeln anzuwenden:

x^-a = 1/x^a
x^(1/z) = z-te Wurzel von x

wenn du es morgen nicht schaffst, bin ich nüchtern und gebe den Lösungsweg. :)

Die Umformung nach x^1/z führt dazu, dass ich einen Haufen Terme mit unterschiedlicher Basis bekomme, was IMO auch wieder total nutzlos ist. Die Umformung nach 1/x^a kann ich nicht durchführen, da mir die negativen Hochzahlen fehlen. Ich sitze weiterhin auf meinen Händen...


Ist die Aufgabe nicht gelöst wenn man mit dem Nenner Multipliziert und den gesamten Term quadriert? Die Aufgabe stellt keine Gleichung dar. Der Term Rechts ist das gesuchte unbekannte Ergebnis, dass durch Umformung des Terms links zu erreichen ist.

[MaxikingWolke22]

\Large{\frac{\sqrt[2]{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt[3]{10}}{\sqrt[6]{\frac{4}{5}}}}

alles hoch sechs:

\Large{\frac{(\frac{3}{5})^3 \cdot 10^2}{\frac{4}{5}} \ = \ \sqrt[2]{3}}, dann einsetzen:

\Large{10^2\ =\ 2^2 \cdot 5^2} und es ist offensichtlich. Du kürzt dann einfach wie der Wind (Denk dran: Den Nenner im Nenner, also die 5, kann man in den Zähler holen). bei der zweiten Aufgabe die dritte Wurzel aus sechs in die Klammer holen:


\Large{(\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{9}) \cdot \sqrt[3]{6} }

Wird zu

\Large{\sqrt[3]{36 \cdot 6}-\sqrt[3]{9 \cdot 6}}

\Large{\sqrt[3]{6^3}-\sqrt[3]{2 \cdot 3^3}}

und dann

\Large{\sqrt[3]{6^3}-(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3^3}) \ = \ 6-\sqrt[3]{2} \cdot 3}

[Ianus]

Noch mal danke für alles bisher. Nun bin ich im Kapitel Unendliche Folgen und habe ein paar Tage mit dem Stoff gerungen...bin mir aber nicht sicher, ob ich hier mit den Ergebnissen total auf meinen Händen sitze.

Aufgabe ist: Reihe weiter füllen und mindestens eines von zwei Bildungsgesetzen angeben.

Gegeben ist:

n: 1 2 3 4 5
an: 1/1 -1/2 1/6 -1/24 1/120

Rekursive formel Laut Lösungsbuch:

a1=1
an+1= (-1)^n*an/(n+1)

Rekursive Formel laut mir:

an= 1/1
an+1=an/(-n+1)

Der Unterschied ist, dass ich das +1 beim n untergesetzt habe und damit sage, dass man das nächste n anstatt dem zu an gehörigen nehmen soll. Mir scheinen die ERgebnisse richtig rauszukommen, aber vielleicht sitze ich auf den Händen.

Explizite Form (nicht im Lösungsheft)

an=(-(1/2)*(-1)^n)/(-2*n)

Kann das korrekt sein?

[MaxikingWolke22]

Wollen mal sehen:

\Large{a_{1} \ = \ 1;\ a_{2} \ = \ -\frac{1}{2};\ a_{3} \ = \ \frac{1}{6};\ a_{4} \ = \ -\frac{1}{24};\ a_{5} \ = \ \frac{1}{125}}

Also, erstmal fällt das alternierende -1 auf. Das deutet in meiner Folge oben, auf diesen Faktor hin:
\Large{(-1)^{n+1}}, das ist also ein negatives Vorzeichen für a(2), a(4) usw., wie bei mir oben gezeigt.
Außerdem ändert sich der Nenner, und zwar erkennen wir leicht die characteristische Reihe:\Large{a_{n+1}\ = \ a_{n} \cdot (n+1)} mit \Large{a_{0} \ \not= \ 1,\ a_{1} \ = \ 1}.

Und wir fügen zusammen:
\Large{a_{n+1} \ =\ (-1) \cdot \frac{a_{n}}{n+1}} beziehungsweise \Large{a_{n} \ = \ (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n!}}

Fertig. Und deine Lösung? Die war sehr falsch.

\Large{a_1 \ = \ 1; \ a_{n+1}\ = \ \frac{a_{n}}{1-n}}

und das gibt?
\Large{a_1 \ = \ 1; \ a_2 \ = \ \frac{1}{1-1} \ = \ \frac{1}{0}}

http://jasonjeffrey.files.wordpress.com/2010/04/divide-by-zero-black-hole.jpg


OOODER, weil ich so gütig bin, will ich mal nicht so sein, und nehme an, dass du dich vertippt hast und die Klammer vergessen hast. Wenn deine Lösung also ist:

\Large{a_1 =1; \ a_{n+1}=\frac{a_n}{-(n+1)}}

dann sieht das ganz anders aus. Dann ist deine Lösung die gleiche wie die Musterlösung. denn der Faktor \Large{(-1)^n} ist einfach positiv für gerade n, negativ für ungerade n. Wenn du nun deine Lösung anschaust, siehst du, dass für ein negatives a(n) das folgende a(n+1) positiv ist, und umgekehrt. Beide bringen uns also alternierende Vorzeichen, das eine mit (-1)^n ist das elegantere und näher an der Endfrage (die du wohl auch früher oder später brauchst, nämlich die Angabe von a(n+1), ohne a(n) zu kennen. Das ist das, was oben unter "wir fügen zusammen" steht). Das andere wäre rekursiver.
Aber um Rekursionen zu verstehen, muss man Rekursionen verstehen.
Und all der Aufwand ohne Karmapunkte.

[Stefan]

Du wolltest wohl a1 schreiben, anstatt an, oder?

Die explizite Form, soweit an den ersten fünf Folgegliedern erkennbar, soll wohl ganz einfach

an = ((1-)^(n+1)) / n! (zu faul und zu doof für TeX)

sein (das ! soll natürlich die Fakultät sein falls du's bisher noch nicht hattest).

Die Lösungsbuchformel stimmt ja schon n = 2 nicht mehr, da es dann 1/2 wäre und nicht -1/2. Deines dagegen sollte funktionieren. Es stimmt auch mit meiner oben genannten Formel überein wie man leicht per Induktionsbeweis zeigen kann (was du aber sicherlich nicht gelernt hast und ich deswegen besser wohl hier nicht schreibe, auch wenn er wirklich banal wäre).

Edit: Ah, Maxiking, da schreibe ich zum ersten mal etwas hilfreiches und dann das! :(

Edit2:
Fertig. Und deine Lösung? Die war sehr falsch.

\Large{a_1 \ = \ 1; \ a_{n+1}\ = \ \frac{a_{n}}{1-n}}

und das gibt?
\Large{a_1 \ = \ 1; \ a_2 \ = \ \frac{1}{1-1} \ = \ \frac{1}{0}}

http://jasonjeffrey.files.wordpress.com/2010/04/divide-by-zero-black-hole.jpg
Ich glaube er meinte auch -(n+1) und hat sich einfach nur verschrieben. Ich hab's zumindest so interpretiert und dann stimmt es auch; ich bezweifel, dass das ein Zufall war und glaube an das Gute im Menschen und Ianus' und so!

Edit3: Ah fu >:0

[Ianus]

Danke, ich rechne das auf jeden Fall mal durch.



Fertig. Und deine Lösung? Die war sehr falsch.

\Large{a_1 \ = \ 1; \ a_{n+1}\ = \ \frac{a_{n}}{1-n}}

und das gibt?
\Large{a_1 \ = \ 1; \ a_2 \ = \ \frac{1}{1-1} \ = \ \frac{1}{0}}

http://jasonjeffrey.files.wordpress.com/2010/04/divide-by-zero-black-hole.jpg
Was ich sage ist allerdings: \Large{-n_{+1} aka, zu jedem \Large{a_{n} wird das nächste n genommen (n+1), aka, wenn das An von zwei kommt, nimmt man die drei aber mit negativem Vorzeichen -(n+1).

Edit:

Für den Veränderungsschritt bin ich davon ausgegangen, dass sich der Wert jeweils durch -2 dividiert wird...dass im Nenner eine Fakultät vorkommt habe ich nicht erkannt...AH GOTT! DIE FOLGE IST JA ALTERNIEREND! Verdammt. Ich habe glatt versucht, sie als kx+d-Gerade zu erstellen. Kein Wunder, dass es bei der Expliziten in die Hose ging.

[Ianus]

Hmm...hier ist noch was:

Zwei explizite Formen:

n 1 2 3 4 5
an 5 9/2 4 7/2 3

Laut Buch, bei dem die Gerade auf den Schnittpunkt zurück geführt wurde:

an=(11-n)/2

Laut Unterlagen mit der allgemeinen Formel für die explizite an=n*d+a1

an=-(1/2)*n+5

Sie scheinen beide korrekt...

[Zelretch]

Wenn dann eher an = -(1/2)*(n-1)+5

Sonst ist es um eine ziffer verschoben. Wenn du das dann umformst kommst du auf die Formel aus deinem Buch.

[MaxikingWolke22]

Sind ja auch beide korrekt.
\Large{a_n = -\frac{1}{2} \cdot (n-1) + 5 = - \frac{n-1}{2} + 5 = - \frac{n-1}{2} + \frac{10}{2} = \frac{1-n}{2} + \frac{10}{2} = \frac{11-n}{2}}

[Ianus]

Danke, ich habe die Überleitung gleich gemacht nachdem Zelretch mich darauf hinwies. ^^ Ich versuche nicht, meine Lehrer hier zu enttäuschen.

[Xube]

Hallo!

Also ich weiß, eure Beiträge sind schon n bissl her, aber ich schreibe nächste Woche eine Matheklausur und muss mir diesen Kram mit Fakultäten reinkloppen....Ich habe so ein Schiss die Klausur zu verk.... was auf gar keinen Fall passieren darf! Meine Freundin hat mir schon solche Bachblüten (http://www.apomio.de/kategorie/bachblueten.html) besorgt. Auch wenn ich nicht daran glaube, aber wenigstens kann ich jetzt klarer denken...
Ich habe heute mal so eine rechnung durch geführt und wollte fragen, ob mir einer nur bestätigen kann, dass das Ergebnis stimmt, damit ich nicht völlig im Dunkeln tappe:

Also die Rechnung lautet:

x^{n-1} * (n+1)!
----------------------
x^n*n!


Mein Ergebniss:

x^-1* [1*2*3...*n*(n+1)]
------------------------------------
1*2*3...*n

n+1
-----
x

Stimmt das?

[Tyr]

Ja, sollte stimmen.

Das ganze sieht bei weitem ungefährlicher aus, wenn man sich bewusst macht, dass Fakultäten und Potenzen ja nur eine verkürzte Schreibweise für eine Reihe Faktoren sind, und die lassen sich ja wunderbar bei so einem Bruch kürzen ... so wie du das auch getan hast. Bist also auf einem guten Weg ;)