Mathe - Wahrscheinlichkeitsrechnung

[Expresseon]

Hallo, ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter n Personen mind. 2 im gleichen Monat Geburtstag haben?

Ich würde es mit dem Gegenereignis lösen, also keine der n Personen hat im selben Monat Geburtstag. Leider komme ich nicht auf die Wahrscheinlichkeit dieses genannten Gegenereignisses.

Vielen Dank im Voraus ~ Expresseon

[Sylverthas]

Also, die Gesamtzahl an Möglichkeiten beträgt ja hier 365^n, falls man keine Schaltjahre mit einbezieht und annimmt, dass die Wahrscheinlichkeit für jeden Tag gleich ist, dass jemand geboren wird.

Wie Du sagst ist das Gegenereignis leichter zu berechnen, und zwar:
keiner hat am selben Tag Geburtstag, also gibt es für den
1. 365 Möglichkeiten
2. 364 Möglichkeiten
...
n. 365- n+1 Möglichkeiten

Damit ist die Wahrscheinlichkeit gerade:
(365*364*...*(365-n+1)) / 365^n

Natürlich nur, so lange n<=365 ist, sonst ist die Wahrscheinlichkeit (natürlich ^_^) immer 1.

edit: argh, ganz vergessen, dass ich da oben ja die Gegenwahrscheinlichkeit bestimmt hab - also das ganze noch 1-(...) ^_^

[YoshiGreen]

Keine Person hat im selben Monat Geburtstag. In welchem Monat denn?

Hilft dir vielleicht der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit weiter?

[Expresseon]

Nicht wirklich. Wie müsste das Gegenereignis lauten? Alle n Personen haben in verschiedenen Monaten Geburtstag, also \frac{12!}{12^n} ?

[MaxikingWolke22]

es geht um monate, nicht tage.


die wahrscheinlichkeit, dass n personen (mit 0<n<12) alle in unterschiedlichen monaten geburtstag haben, ist
1 (für den ersten)
*11/12
*10/12 (für den dritten)
...
*(13-k)/12 (für den kten)
...
*1/12 für den 12.
*0 für alle weiteren.

also 11!/(13-k-1)!*1/12^k
und jeweils das gegenereignis.

[Sylverthas]

es geht um monate, nicht tage.

Hmmm... manchmal lohnt es sich schon, die Aufgabe ein wenig genauer zu lesen^^°

Andererseits ändert sich dadurch ja an der Rechnung prinzipiell nichts, man ersetzt eben nur 365 durch 12 und das sollte eigentlich etwas sein, was jeder hinkriegt.


11!/(13-k-1)!*1/12^k
Du hast da noch ein k-1 vergessen, also

11!/(13-k-1)!*1/12^(k-1), oder alternativ

12!/((12-k)!*12^k)

[Expresseon]

Diese Aufgabe ist mir jetzt klar, aber ich habe eine andere Frage:

In einem Raum gibt es 8 Lampen, die man jede an- und ausschalten kann. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass genau 5 Lampen brennen?
Die Lösung ist 56, aber wie kommt man da drauf?

[dasDull]

Stell dir eine Urne vor, in der 8 durchnummerierte Kugeln sind. Wie viele unterschiedliche Zahlenkombinationen kann man aus der Urne ziehen, wenn man die Kugeln nicht zurücklegt und die Zugreihenfolge egal ist? (Es ist ja egal, in welcher Reihenfolge die Lampen angehen).

Am Anfang hat man acht Möglichkeiten zu ziehen, dann sieben, dann 6...
insgesamt also 8*7*6*5*4 = 8!/3! Möglichkeiten. Da die Reihenfolge egal ist,
musst du noch durch die Anzahl der Anordnungen teilen, welche bei 5 Lichtern/Kugeln 5! beträgt. Das Endergebnis ist also 8!/(3!*5!) = 56

[Expresseon]

Danke für die Hilfe, es sind natürlich 8 über 5.

Kann mir jemand noch weiter helfen?

In einer Urne befinden sich 11 weiße und 15 schwarze Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 10 willkürlich herausgegriffenen Kugeln 5 weiße befinden?

Ich habe hier 21,8% raus, aber in der Lösung steht 26,1%.
Ich habe gerechnet: (11/26)^5 * (15/26)^5 * (10 über 5)

[MaxikingWolke22]

probier mal 26 über 10.

[Expresseon]

Statt 10 über 5? Das stimmt auf keinen Fall, da kommt dann eine riesige Zahl raus.

[MaxikingWolke22]

und 15 über 5 mal 11 über 5?

[Expresseon]

Also ich vermute die Lösung 26,1 ist falsch. Es ist 10 über 5, also 21,8%.

Ich bräuchte lieber noch Hilfe hiermit:
In einer Urne befinden sich 6 goldene, 11 silberne und 23 bronzefarbene Kugeln.
a) Es werden 10 Kugeln nacheinander gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind 4 Kugeln
silber und 6 bronzefarben? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine Kugel gold?
b) Eine Kugel wird gezogen und zurückgelegt. Dies geschieht 10 Mal. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit sind 4 Kugeln silber und 6 bronzefarben? Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind
unter den gezogenen Kugeln mindestens 2 von jeder Art dabei?

[MaxikingWolke22]

es ist im prinzip immer das gleiche. gegenwahrscheinlichkeit, und genau der weg, den du bei derletzten aufgabe schon eingeschlagen hattest.

[Sylverthas]

Also ich vermute die Lösung 26,1 ist falsch. Es ist 10 über 5, also 21,8%.

Nein, die Lösung ist schon richtig - es handelt sich hierbei um eine Hypergeometrische Verteilung (falls Dir das etwas sagt^^).

Also, die Aufgabe ist ja: Du hat eine Grundgessamtheit N=26, davon M=11 weiße Kugeln. Deine Stichprobe ist n=10 Kugeln. Dann berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass Du k weiße Kugeln ziehst via

P(k) =\frac{{M \choose k}{N-M \choose n-k}}{N \choose n}

Wenn Du hier für k=5 setzt kommt das Ergebnis raus; Du zählst also die Wahrscheinlichkeit, dass unter n gezogenen Kugeln k weiße sind.

Man kann die hypergeometrische Verteilung natürlich kombinatorisch herleiten, aber wenn Du die bisher noch nicht gesehen hast wird sie auch nicht so wichtig (für Dich) sein.

edit:
es ist im prinzip immer das gleiche. gegenwahrscheinlichkeit, und genau der weg, den du bei derletzten aufgabe schon eingeschlagen hattest.
Yep - prinzipiell läuft es bei solchen Problemen immer darauf hinaus, dass Du die Anzahl der Möglichkeiten zählst - da gibt es ja so nette Formeln
"mit/ohne zurücklegen" "mit/ohne Beachtung der Reihenfolge" und ähnlichem - eigentlich muss man die "nur" kombinieren, dann klappt das schon.
Dann noch das mit Gegenwahrscheinlichkeiten im Kopf haben kann auch helfen - aber das machst Du ja schon ^_^

Es kann natürlich auch nicht schaden, ein paar Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Kopf zu haben, wie z.B. die Binomialverteilung, Geometrische Verteilung und welche ihr auch immer noch so gemacht habt.
Wobei man hier auch am Besten immer noch ein Beispiel im Kopf haben sollte, auf was man die Verteilungen anwenden kann.

[MaxikingWolke22]

man muss sich einfach eine tabelle machen, mit/ohen zurücklegen und mit/ohne reihenfolge - das da oben war schon ungefähr das schwerstmögliche.

[Aldinsys]

es ist im prinzip immer das gleiche. gegenwahrscheinlichkeit, und genau der weg, den du bei derletzten aufgabe schon eingeschlagen hattest.

Naja, wie schon erklärt muss man immer die der Verteilung zugrundeliegenden Annahmen prüfen. Eine Binomialverteilung kann man beim Ziehen ohne Zurücklegen nur approximativ anwenden, wenn n/N kleiner als
0.05 ist.

Wenn man immer schön die Voraussetzungen einer Verteilung prüft kann nichts schiefgehen. Der Rest ist ja nur Einsetzen von Zahlen. ;)