Rang der Matrix

[MaxikingWolke22]

Guten Tag, ich habe ein wohl recht einfach aufzulösendes Problem:

Ich soll den Rang verschiedener m*n-Matrizen berechnen.

überall wird auf das Gauß'sche Eliminationsverfahren hingewiesen (Gott, auf deutsch ist das alles so ungwohnt ^^'). Ich sehe aber die Verbindung aus folgendem Grund nicht:

Beim Gauß'schen Verfahren habe ich am Ende eine Gleichung, also etwa:
1 3 5 : 7
0 2 8 : 1
3 2 0 : 2
(bzw. ein langer senkrechter Strich statt der Doppelpunkte). Am Ende erhalte ich:
1 0 0 : x
0 1 0 : y
0 0 1 : z
, und genau um x, y, z geht es ja dabei. Beim Rang einer normalen Matrix habe ich aber nur:
1 3 5
0 2 8
3 2 0
oder, sagen wir bei einer nicht-quadratischen Matrix:
1 3 5 7
0 2 8 1
3 2 0 2.
Soll ich am Ende, damit ich solche Gleichungen erhalte, einfach ": 0" schreiben oder wie? Oder einfach das Ende ignorieren?

[YoshiGreen]

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl ihrer linear unabhängigen Spalten bzw. Zeilen.
Deswegen bringst du sie mittels Gauß auf eine obere Dreiecksmatrix.

Die Lösung des GS ist also nicht wichtig.

[MaxikingWolke22]

Ach so, dann versuch ich mich gleich mal dran.

Kann ich bei einer nicht-quadratischen Matrix also einfach, wie bei der 4x3-matrix oben, überprüfen, ob die drei reihenvektoren lin. abh. sind? Weil selbstverständlich die vier Spaltenvektoren linear abhängig sind. Oder darf ich einfach einen der Spaltenvektoren weglassen und dann die einfachere Rechnung durchführen, um zu überprüfen, ob die drei verbliebenen Spaltenvektoren linear unabhängig sind?

[YoshiGreen]

Ehm... spontan würde ich einfach mal nichts weglassen und wie gesagt einfach eine Dreiecksmatrix schaffen. Du musst das System ja nicht komplett lösen und normieren (sprich nur noch Einsen auf der Diagonalen).

(Ich denke aber schon, dass du immer eine Spalte weglassen könntest. Du kannst ja mit den anderen Vektoren diesen Vektor ausdrücken. D.h. jede nicht triviale Darstellung der Null die diesen Vektor beinhaltet kann auch durch die anderen Vektoren erreicht werden. Aber ernsthaft: Der Mehraufwand ist \epsilon und Punkte zu verschenken weil man evtl. einen Spezialfall übersehen hat...)

[TheBiber]

Bringe die Matrix mit Gauss auf eine Zeilen-Stufen-Form, wenn sie nicht vollen Rang hat, ist die Form nicht zwingend eine obere Dreiecksform. Der Rang entspricht dann der Anzahl Pivot-Elemente, also derjenigen Zahlen, mit denen eine neue Stufe beginnt.

Beispiel für eine 4x5-Matrix vom Rang 3, die Pivot-Elemente sind a, b und c:

a * * * *
0 b * * *
0 0 0 0 c
0 0 0 0 0