Parameter-Ebenenschar

[Expresseon]

Ich habe eine Ebenenschar mit Parameter k im R³:

E: kx + k²y + 2z = k²

Es gibt zwei Scharebenen, deren Schnittwinkel mit der z (x3) -Achse 30° beträgt. Diese soll man ermitteln.

Ich habe versucht, Skalarprodukt : [ Länge von (k/k²/2) * Länge von (1/0/0) ] = cos 30 zu machen und nach k aufzulösen. Der GTR findet aber keine anständigen Lösungen. Ich hab das Gefühl, (1/0/0) ist falsch. Er ist ja orthogonal zur z-Achse.

Wo liegt also der Fehler?

[Drakes]

Wäre die Gleichung für das Skalarprodukt nicht eher\begin{pmatrix} k \\ k^2 \\ 2 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \left|\begin{pmatrix} k \\ k^2 \\ 2 \end{pmatrix}\right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right| \cdot \cos 30 ?

[Expresseon]

Ja, das ist das, was ich schrieb, nur, dass mit dem Nenner multipliziert wurde.

[Drakes]

Also bei dir sehe ich eher nur a \cdot b = \cos 30

[Expresseon]

Skalarprodukt : [ Länge von (k/k²/2) * Länge von (1/0/0) ] = cos 30

Das wird dann zu: {\frac{k}{\sqrt{k^2 + k^4 + 4}} = cos 30

[Drakes]

Da oben hast du aber keinen Bruch aufgeschrieben.
Wie auch immer du musst \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} verwenden, das entspricht ja der z-Achse, dann gehts auch. k=\frac{\pm\sqrt{6\cdot\left(\sqrt{57}-3\right)}}{6}

[Expresseon]

Moment mal jetzt.

1. Die Lösung ist mir bekannt, sie ist \pm{\sqrt3}.

2. Warum soll ich jetzt die z-Achse \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} verwenden? Da ich den zur Ebene orthogonalen Normalenvektor nehme, muss ich auch einen zur z-Achse othogonalen Vektor nehmen, nicht die Achse selber.

[YoshiGreen]

Zwischen der Ebenen und dem Normalenvektor beträgt der Winkel 90°, zwischen der Ebene und der z-Achse soll der Winkel 30° betragen.

Dann beträgt der Winkel zwischen Normalenvektor und z-Achse 90°-30°=60°.

Das führt zu der Gleichung
\frac{n \cdot e_3}{|n| \cdot |e_3|} = \cos(60^\circ) mit Normalenvektor n und dem dritten Einheitsvektor.
Tip: Beim Lösen der Gleichung hat die Subtituation k²=u geholfen. Überdenke am Ende warum es trotzdem nur 2 Lösungen gibt.

[Drakes]

2. Warum soll ich jetzt die z-Achse \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} verwenden? Da ich den zur Ebene orthogonalen Normalenvektor nehme, muss ich auch einen zur z-Achse othogonalen Vektor nehmen, nicht die Achse selber.

Es gibt unendlich viele zur z-Achse orthogonale zueinander nicht kolineare Vektoren. YoshiGreen hat recht; man muss 60° nehmen.

[Expresseon]

Ich habe eine weitere Geometrie-Frage.

Die Punkte A(3/2/0), B(0/3/2) und C,k(1+3k/2-k/4-2k) legen eine Ebene fest. Diese soll man bestimmen (in Normalenform). Ich habe die LÖsung, da kommt kein k vor. Bei mir ist aber eines dabei.

Spannvektoren: (-3/1/2), (-2+3k/-k/4-2k)
Mit den beiden habe ich ein Gleichungssystem aufgestellt und versucht, es zu lösen. Aber k fliegt nicht raus. Stimmen die Vektoren?

[Sylverthas]

Hallo,

also, Deine Spannvektoren sind richtig.
Wenn, dann hast Du Dich beim Lösen des LGS vertan.
Aber einfacher als mit einem LGS kannst das Problem lösen, wenn Du das Kreuzprodukt verwendest, falls ihr das schon kennt.

Der Vektor, den man mit dem Kreuzprodukt berechnet, steht nämlich senkrecht zu beiden Vektoren - also ist er in diesem Fall gerade der Normalenvektor (eventuell noch normieren!).

[Expresseon]

Kreuzprodukt hatten wir leider nicht, habe es aber auch so geschafft, war tatsächlich ein Rechenfehler. Danke.

Eine weitere Frage:

Das Dreieck ABC,k mit A(3/2/0), B(0/3/2) und C,k(1+3k/2-k/4-2k) ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide. S,r(-2r/3+r/4) ist die Spitze der Pyramide.

Wie begründet man, dass das Volumen dieser Pyramide unabhängig von k und r ist?

[Drakes]

Ich habe es jetzt nicht überprüft, aber wahrscheinlich indem die Grundfläche und die Höhe gleich bleibt, Grundfläche bleibt gleich, wenn der Abstand von C zu der Strecke/Geraden AB immer gleich bleibt und S 0° zur Ebene ABC hat.

C,k und S,r sind ja gewissermassen (mathematisch nicht ganz korrekt) Geraden C,k = (1/2/4) + k*(3/-1/-2)
S,r = (0/3/4) + r * (-2/1/0)

Richtungsvektor (3/-1/-2) mit AB vergleichen. Kollinear?
Winkel ABC zu (-2/1/0) = 0? (Richtungsvektor von S,r)

Ich hoffe, der Gedankengang ist halbwegs verständlich ^^

[Expresseon]

Also bei der Grundfläche ist die Dreiecks-Grundseite immer der Vektor von A nach B und die Höhe immer gleich, weil die Gerade, auf der alle C,k liegen parallel zur Geraden AB ist. Richtig?

Das mit der Höhe verstehe ich nicht. Was ist der Winkel ABC?

[Drakes]

Also bei der Grundfläche ist die Dreiecks-Grundseite immer der Vektor von A nach B und die Höhe immer gleich, weil die Gerade, auf der alle C,k liegen parallel zur Geraden AB ist. Richtig?
Ja, aber ich habe es nicht überprüft.


Das mit der Höhe verstehe ich nicht. Was ist der Winkel ABC?

Ich meine den Winkel(Ebene ABC, Gerade auf der alle S,r liegen). Meiner Meinung nach kannst du nun irgend ein C nehmen, um die Ebene ABC zu bekommen, da immer die gleiche Ebene rauskommen sollte.

[Expresseon]

ABC ist immer die selbe Ebene. Denn Die Gerade C,k ist parallel zu AB, das habe ich nachgeprüft. Die Höhe ist also immer die selbe, weil sich die Ebene nicht ändert und die z-Koordinate der Spitze auch nicht, oder?

[Drakes]

Das hängt von der Ebene ab. Die Gerade von S,r muss auch "parallel" zur Ebene sein.

[Expresseon]

S,r ist parallel zur Geraden BC,1. Das habe ich in einer Aufgabe davor geprüft. Also ist sie parallel zur Ebene, oder?

[Drakes]

S,r ist parallel zur Geraden BC,1. Das habe ich in einer Aufgabe davor geprüft. Also ist sie parallel zur Ebene, oder?

Ja, aber das muss in anderen Fällen nicht so sein, dass S,r parallel zu AB BC oder AC ist. Die einfache Lösung ist, glaub ich, zwei Variablen z.B. m und n zu finden damit Richtungsvektor von S,r = m * AB + n * AC was soviel bedeutet wie, die Richtung von S,r ist zusammensetzbar aus Teilen von AB und AC. (Die Reichtungsvektoren der Ebene)

[Expresseon]

Gut, das habe ich verstanden.

Und eine weitere Frage: Wie bestimme ich die Gleichung der Kugel, auf der A, B und C,1 liegen? Der Mittelpunkt liegt auf der Ebene durch ABC,1 ; nämlich
2x + 4y + z = 14.

[Drakes]

\vec M = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

4 Gleichungen:

\left| \vec {AM} \right| = \left| \vec M - \vec A \right| = d

\left| \vec {BM} \right| = d

\left| \vec {CM} \right| = d

2x + 4y + z = 14

[Expresseon]

Wer sagt, dass die Punkte vom Mittelpunkt den gleichen Abstand haben?

[Drakes]

Wer sagt, dass die Punkte vom Mittelpunkt den gleichen Abstand haben?

Sie liegen doch auf der Kugel, und das ist nunmal die Eigenschaft die Punkte auf einem Kreis bzw einer Kugel zum Mittelpunkt haben, sie haben alle den gleichen Abstand zum Mittelpunkt.

[Expresseon]

Stimmt. :)
Wie lauten dann meine Gleichungen?
\sqrt{(x-3)^2 + (y-2)^2 + z^2} und das für jeden der 3 Punkte?
Wie löse ich dann die 4 Gleichungen nach x,y,z auf?

[Drakes]

Von hand ist das recht mühsam.
Ich würde die 2. Gleichung, also das d, in der 3. und 4. Gleichung einsetzen, dann hast du noch 3 Gleichungen (1., 3., 4.) mit den Unbekannten x, y und z. Dann equivalent fortfahren, aber ob das von Hand wirklich gut geht... mein GTR hatte für die 4 Gleichungen sogar lange.

[Expresseon]

Also:

I \sqrt{(x-3)^2 + (y-2)^2 + z^2}
II \sqrt{x^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2}
III \sqrt{(x-4)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2}
IV 2x+4y+z=14

Und jetzt? II naach x auflösen und in III und IV einsetzen??

[Drakes]

Also:

I \sqrt{(x-3)^2 + (y-2)^2 + z^2}
II \sqrt{x^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2}
III \sqrt{(x-4)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2}
IV 2x+4y+z=14

Und jetzt? II naach x auflösen und in III und IV einsetzen??

Entschuldigung, hatte falsche Nummerierung im Kopf. Ich meinte 1. in 2. und 3. :

\sqrt{x^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + (y-2)^2 + z^2}

\sqrt{(x-4)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + (y-2)^2 + z^2}

2x+4y+z=14

Vielleicht gibt es auch einen kürzeren Weg, als so weiterzumachen, wäre wünschenswert.

[Sylverthas]

Hallo,

also, so, wie ich das sehe, befinden sich ja alle 3 Punkte auf einer Ebene (natürlich^^) - man könnte doch jetzt den Umkreis des Dreiecks bestimmen -
auf diesem liegen alle 3 Punkte und der Mittelpunkt ist auf der Ebene.

Zunächst bildet man den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks ABC1, dieser liefert einem den Kreismittelpunkt M.
Der Radius r ergibt sich aus dem Abstand von M zu einem der Punkte A,B oder C1.

Wenn man diesen Radius nun als den einer Kugel auffasst, so hat man eine Kugel konstruiert, auf welcher alle 3 Punkte liegen, mit Mittelpunkt auf der von ABC1 aufgespannten Ebene.

Zumindest war das mein 2. Ansatz, nachdem ich gesehen habe, wie kompliziert der erste (also der, den ihr hier auch besprochen habt^^) wird.

Hoffe, dass ich etwas helfen konnte^^

[Expresseon]

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist doch nicht unbedingt der Dreiecksmittelpunkt, oder?

---

Habe es bereits mit der ersten Methode gelöst: M(2/2/2), r = \sqrt{5}

Kann mir jemand sagen, ob meine Schnittpunkte der Kugel mit der Geraden (-2/4/4) + t * (-2/1/0) stimmen?

P(1,1/2,4/4), Q(2,9/1,6/4)

[Sylverthas]

edit: Nein, der "Mittelpunkt" vom Dreieck muss dies nicht sein, dennoch ist es der Mittelpunkt vom Umkreis, dem Kreis, welcher durch alle 3 Ecken geht; das kann man sich so veranschaulichen:

Die Mittelsenkrechte mAB halbiert ja die Seite AB und steht senkrecht auf ihr.
Das bedeutet aber auch, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten den gleichen Abstand von A und von B hat.
Wenn man nun die Mittelsenkrechte von BC betrachtet, gilt hier das gleiche: jeder Punkt darauf hat den gleichen Abstand von B und von C.
Schneidet man nun diese beiden, so gilt im Schnittpunkt: der Abstand vom Schnittpunkt zu A, B und C ist jeweils gleich groß.
Das heißt wiederum, dass der Schnittpunkt gerade der Mittelpunkt des Kreises ist, welcher durch A,B und C geht.

PS: Aber gut, dass Du die Aufgabe lösen konntest!

[Expresseon]

Ich habe noch eine andere Frage zum Beschreiben von Ebenen.

Beispiel: Die Ebene x - z = 0. Man soll die Lage beschreiben.
Ich würde sagen, wegen x = z handelt es sich um die xz-Ebene. Stimmt das? Und wie kann ich allgemein gut die Lage beschreiben? Achsenschnittpunkte suchen und dann die Ebene vorstellen?

[MaxikingWolke22]

Das sehe ich anders. Offenbar macht der y-Wert keinen Unterschied, da er nicht Bestandteil der gleichung ist. Damit muss die Ebene parallel zur y-Achse sein. Die xz-Ebene ist leider senkrecht zu selbiger.

Es ist die Ebene, die durch die y-Achse und den Punkt (1,0,1) z.B. aufgespannt wird, also sie enthält die winkelhalbierende zwischen x- und z-Achse, bzw. den Vektor (1,0,1), und den Vektor (0,1,0) (y-Achse).

Allgemein: so etwas herausarbeiten, etwa Koordinatenursprung enthalten, parallel zu einer der Koordinatenachsen, Schnittpunkte mit den Achsen (für den Schnittpunkt mit einer Achse die anderen Werte der Gleichung gleich Null setzen und anschließend nach der Koordinate der zu untersuchenden Achse auflösen)?

Deine Vermutung lässt sich einfach widerlegen, indem man für y=a mit a!=0 einsetzt. Dann ist die Gleichung erfüllt, aber der Punkt kann dennoch nicht in der xz-Ebene liegen. Damit sind xz-Ebene und gesuchte Ebene schon mal nicht identisch.

[Expresseon]

Ok, also sie enthält die y-Achse und steht mit 45° auf der xy-Ebene. Habe ich es jetzt richtig verstanden?

[MaxikingWolke22]

nein, sie enthält die y-Achse, steht mit 90°, also senkrecht, auf der xz-Ebene, und jeweils zu 45° auf x- und z-Achse, und zwar so, dass sie den Vektor (1,0,1) enthält.

[Expresseon]

Entschuldigung mal, aber das ist doch genau das was ich gesagt habe. 45° zur xy-Ebene. Das sind doch 45° zur x- und zur z-Achse.

[MaxikingWolke22]

das, was du beschreibst, könnten zwei ebenen sein, daher muss der Vektor noch hineingebracht werden.

[Expresseon]

Achso es könnte die sein, die in auf der negativen xy-Ebene steht. Naja ich hab jedenfalls verstanden, welche gemeint ist.