Mathematik - Exponentialfunktionen, Differentialgleichungen

[Expresseon]

Ich habe Fragen zu 2 Aufgaben.

1)
Gegeben ist eine Parameterfunktion mit Parameter n >= 1 (ganze Zahlen): fn(x) = \frac{3e^x}{(1+e^x)^n}

Man soll zeigen, dass f2 zur y-Achse symmetrisch ist. Das geht natürlich mit f(x) = f(-x). Aber wie sehen nun die Rechenschritte aus? Ich habe
{\frac{3e^x}{(1+e^x)^2}} - {\frac{3e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}} = 0 als Ansatz, dann jeweils die Nenner ausmultipliziert... Aber weiter komme ich nicht.


2)
Gegeben ist f(t) = 1000 - 800e^{-0,01t}.
f beschreibt die Flüssigkeitsmenge in einem Behälter.
In einem anderen Behälter befinden sich zu Beginn 200 Liter (wie im ersten Behälter). Pro Minute flißene 10 Liter zu, aber 1% des jeweiligen Inhalts fließt auch ab. Dieser Vorgang wird durch die folgende Differenzialgleichung dargestellt:

B'(t) = a - b * B(t)

Man soll a und b angeben. Ich habe a = 10 und b = 0,01. Stimmt das?
Dann soll gezeigt werden, dass f eine Lösung der Differenzialgleichung ist. Wie geht das? Mein Ansatz: B'(t) = f '(t). Ist das richtig?

[Brauni90]

1) einfach weiter stur aufloesen

\frac{3e^x}{(1+e^x)^2}=\frac{3e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}

3e^x(1+e^{-x})^2=3e^{-x}(1+e^x)^2

e^x(1+2e^{-x}+e^{-2x})=e^{-x}(1+2e^x+e^{2x})

e^x+2+e^{-x}=e^{-x}+2+e^x

0=0

[YoshiGreen]

ad 2) Die Ableitung von B (also B') sagt dir ja wie sich die Funktion B ändert (also wie sich der Inhalt des Behälters ändert).
Die von dir angegebene DGL hat 2 Komponenten:


a, ein konstanter Zuwachs pro Zeiteinheit
-b*B(t) ein Abnahme des Inhaltes abhängig vom aktuellen Inhalt

(Natürlich nur wenn a,b>0 sonst ändert sich das Vorzeichen).
Wenn nun pro Minute 10l hinzukommen sollen ist das ja ein konstanter Zuwachs, und ein Verlust abhängig vom Inhalt (wie 1%) kann mittels b modelliert werden.


Um zu zeigen, dass f nun diese DGL ist löst wird untersucht ob f' von der gewünschten Form ist. Du hast salopp f' = B' geschrieben und meinst sicher das richtige. Da in f' weder a noch b auftauchen, die aber sehr wohl in B' stehen wird es etwas schwierig diese Gleichheit zu überprüfen. Du kannst auch nicht die berechneten Werte einsetzen, weil das Gefäß unter Umständen andere Parameter besitzt.
Stell es dir so vor: B' ist wie eine Kuchenform oder eine Rezeptvorgabe die an deine Funktion (Kuchen) eine gewünschte Eigenschaft (Geschmacksrichtung) stellt.
f ist nun ein fertiger Kuchen. Du kannst den Kuchen nicht 1:1 mit der Backform oder dem Rezept vergleichen - das sind unterschiedliche Sachen. Notfalls iss ein Stück Kuchen und danach beiss in eine Backform oder iss ne Seite aus dem Rezeptbuch: Der Unterschied sollte deutlich werden ;)
Was du aber tun kannst, ist die Ableitung von f (die Form des Kuchen, den Geschmack) mit deiner Vorgabe der DGL (Der Form oder des Rezeptes) zu vergleichen.

Frage: Lässt sich f' schreiben als: f' = a-b*f ? Wobei a und b irgendwelche Zahlen (nicht notwendig 10 und 0.01) sein können.