[Mathe] Temperaturfunktion

[Expresseon]

f(t) = 36,5 + t e^{-0,1t} (t ist die Zeit in Stunden)

Die Funktion f beschreibt den Temperaturverlauf einer Fiebererkrankung.
Nun meine Frage:

Zu welchen beiden Zeitpunkten innerhalb der ersten 48 Stunden nimmt die Körpertemperatur am stärksten zu/ab?

Das ist an den Wendepunkten, doch bei der Bestimmung dieser komme ich mit Taschenrechner nur auf einen Wendepunkt bei t = 20. Wo ist die zweite Änderung?

[YoshiGreen]

Hi,
die Idee mit den Wendepunkten ist richtig aber wenn ich mir den Graph so anschaue sehe ich spontan auch keinen zweiten Wendepunkt.
http://img641.imageshack.us/img641/5653/42407306.png

Auf Nummer sicher gehst du, wenn du f''(t)=0 nach t auflöst.

[Expresseon]

Genau das habe ich ja gemacht.

f''(t) = 0,01t e^{-0,1t} - 0,2e^{-0,1t}

f''(t) = 0

t = 20

[YoshiGreen]

Jo, habe ich auch so und es deckt sich ja mit der Beobachtung am Graphen.
Also gibt es nur einen Wendepunkt.

Spontan fällt mir ein die Frage so zu verstehen:
Zu welchen Zeitpunkt nimmt die Temperatur am stärksten zu?
Zu welchem Zeitpunkt nimmt die Temperatur am stärksten ab?

Mit t=20 hast du ja den Zeitpunkt der stärksten Abnahme gefunden.
Den Zeitpunkt der stärksten Zunahme lässt sich leicht durch drauf gucken ermitteln.

Ein oder zwei Sätze sollten reichen. (Kommt natürlich darauf an für wen du diese Frage beantworten sollst).

Edit: Damit einhergehend solltest du auch allgemein am besten noch f' an den Rändern deines Intervalles untersuchen und auch bei t=20, denn der Wendepunkt ist ja nicht zwangsweise der Punkt mit der größten Temperaturveränderung global gesehen.

[Drakes]

Wäre schön gewesen, wenn die Skalierung anders wäre, zwar erkennt man auf den ersten Blick so mehr, aber auf den 2. Blick hätte man gesehen, dass die Kurve nach links hin immer steiler wird. Daher ist anzunehmen, dass zu Beginn die grösste Temperaturzunahme ist.

[YoshiGreen]

Da kannst du skalieren wie du lustig bist, das wird am linken Rand immer steiler werden weil f gegen -inf strebt wenn t -> -inf. :rolleyes:

Und oben wurde ja bewiesen, dass nur bei t=20 ein Wendepunkt vorliegen kann, die erste Ableitung also nur einen Extrempunkt besitzt.

Aus mathematische Sicht gibt es also keinen Punkt der größten Temperaturzunahme - aus biologischer Sicht jedoch schon (Stichwort: Definitionsrand)

[Drakes]

Da kannst du skalieren wie du lustig bist, das wird am linken Rand immer steiler werden weil f gegen -inf strebt wenn t -> -inf. :rolleyes:

Aber natürlich habe ich etwas anderes gesagt.

[TheBiber]

Aus mathematische Sicht gibt es also keinen Punkt der größten Temperaturzunahme - aus biologischer Sicht jedoch schon (Stichwort: Definitionsrand)

Mathematisch korrekt müsste man erstens einmal den Definitions- und Wertebereich der Funktion angeben, um das biologische Problem korrekt abzubilden:

D=\mathbb{R}_0^+\

W=\{x\in\mathbb{R}|x>-273.15\}

Die Funktion gemäss obiger Definition bildet dann die Mengen korrekterweise so D\rightarrow W ab.

Nun lässt sich untersuchen, wie sich die Funktion und ihre Ableitungen auf den Rändern des Definitionsbereichs verhalten. Du brauchst im Prinzip nur \lim_{t\rightarrow0}f'(t) zu berechnen und nachzuweisen, dass es sich hierbei um ein Grenzmaximum handelt. Die erste Ableitung enthält nur eine Nullstelle, nämlich an der Maximalstelle der Funktion selbst. Da die Funktion stetig ist, ist auch die erste Ableitung stetig und müsste, wenn es sich bei obigem Ausdruck um ein Grenzmaximum handeln würde, monoton fallend zwischen t=0 und der Maximalstelle sein. Wenn \lim_{t\rightarrow0}f'(t)>0 wäre, da es nur einen Wendepunkt gibt, der den maximalen Abfall beschreibt, mathematisch erwiesen, dass f(t) an der Stelle t=0 den grössten Temperaturanstieg hat.

[YoshiGreen]

Als ich von der "mathematischen Sicht" sprach nahm ich implizit |D=|W=|R an. Und dann wäre das größte Wachstum bei -inf, dass nicht mehr in |R liegt. Habe ich mich wohl etwas unklar ausgedrückt. Bei der biologischen Sicht sprach ich dann auch von der dir vorgeschlagenen Definitionsmenge.

Ansonsten hast du im groben mit deinen Ausführungen recht - die Frage ist halt wie detailliert wird es benötigt?


Aber natürlich habe ich etwas anderes gesagt.
?

[Expresseon]

Vielen Dank.

Ich habe zur selben Aufgabe nun eine weitere Frage.

Nach 5 Stunden erhält der Erkrankte ein Medikament. Es gilt ab jetzt beschränktes Wachstum und die Temperatur nähert sich 36,5 °C an. 2 Stunden nach Einnahme beträgt sie 38,4 °C.

Es soll eine neue Funktion g aufgestellt werden, die den Verlauf nach Einnahme des Medikamentes zeigt.

Ich bin so weit:

f(5) = 39,5 = g(0)
g(t) = 36,5 - ce^{-kt}
g(0) = 36,5 - c
c = -3
g(t) = 36,5 + 3e^{-kt}

Aber: Wie finde ich k ?

[Aenarion]

Nun, ich bin mir absolut nicht sicher, aber ich würde sagen, dass, da du weißt, dass 2 Std. später die Temperatur 38,4°C beträgt,

g(2)=38,4°C

--> 36,5+3e^(-2k) = 38,4

dann ausrechnen.
Würde ich so machen... Aber wie gesagt, ich bin nicht sicher^^

[Expresseon]

Stimmt, ich bin wirklich dämlich. :rolleyes: