Aufleitung von Funktionen [Stammfunkton, Integralrechnung]

[Davy Jones]

/ = geteilt durch (Bruch)
^ = Anzeigeform für eine Hochzahl ( x^1,5 wäre dann x hoch 1,5).

Version 1 (von der Tafel)
f(x) = x^1,5

F(x) = 1,5 * x^1,5-1

F(x) = 1,5/1,5 * x^0,5

Hier hat er vom Exponenten -1 abgezogen, so dass nur noch 0,5 übrigbleibt. Merkwürdigerweise hat er dann unten nochmal 1,5/1,5 gerechnet, was 1 ergibt. Im Endeffekt hat er dann als Ergebnis x^0,5.

Version 2 (Ich selbst)
f(x) = x^1,5

F(x) = 1/2,5 * x^2,5

Dem Exponenten einfach +1 zugeschoben (1,5 + 1 = 2,5). Diese 2,5 habe ich dann auch für den Bruch verwendet, mit das ganze multipliziert wird, allerdings geteilt durch 1.


Normal macht mans so wie ich es getan habe, mir ist diese Ausnahme schleierhaft.
Hier ist btw ein Musterbeispiel wie mans üblicherweise berechnet:
f(x) = 3/4x^7

F(x) = 1/8 * 3/4x^8

F(x) = 3/32x^8

[TheBiber]

Version 1 ist auch nicht die "Aufleitung", sondern die Ableitung. Und selbst dann noch falsch...

Die Version F(x)=\frac{1}{2.5}x^{2.5} ist korrekt.

[Davy Jones]

aye, dankeschön =)

[DFYX]

Und streich bitte "Aufleitung" aus deinem Wortschatz, bevor es sich festsetzt. Früher oder später wird dich sonst ein Mathematiker steinigen. Das heißt Stammfunktion.

[Davy Jones]

@DFYX: oha, danke für den Hinweis xD

Btw, wie kann man eigentlich den Formel-Text von TheBiber generieren?
Ist das eine spezielle Forenfunktion? Sieht auf jeden Fall besser aus als meine Schreibweise.

Eine andere Sache, die mir aufgefallen ist (ich mach das mal mit kommentieren):

1) f(x) = -1/1x^6
2) F(x) = 1/5x^5
3) F(x) = 0,2/x^5

1) meine Funktion, die ich aufleiten will
2) Das Vorzeichen im Zähler verkehrt sich ins Gegenteil. Im Nenner selber wird nur abgeleitet.
3) 1 geteilt durch 5 ist 0,2 -> ansonsten verändert sich nix.

Kann man dieses Schema allgemeingültig verwenden? Vor allem die Sache mit dem Vorzeichen interessiert mich.

[MaxikingWolke22]

natürlich kann man das. wenn du die stammfunktion von x^n haben willst, findest du diese durch 1/(n+1)*x^(n+1), denn das abgeleitet gibt ja nach den allgemeinen ableitungsregeln x^n für n != -1

[Davy Jones]

mh, ich rechne mal kurz ein Beispiel aus meinem Ordner:

1) 10/x^2
2) 10/-1x^-1
3) -10/1x

1) will ich aufleiten
Aber wenn ich mir 3) ansehe, merke ich dass das der Nenner nicht abgeleitet wird.

Die Ableitung von x^2 wäre 2x^1.
Die Aufleitung (Stammfunktion) von x^2 wäre 1/3 * x^3.


natürlich kann man das.
Nein, denn nach der obigen Rechnung kann das Schema aus meinem vorigen Post nicht allgemeingültig sein. Der Vorzeichenwechsel im Zähler ist zwar richtig, aber die Ableitung vom Nenner ist scheinbar Nonsens.
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wenn du die stammfunktion von x^n haben willst, findest du diese durch 1/(n+1)*x^(n+1), denn das abgeleitet gibt ja nach den allgemeinen ableitungsregeln x^n für n != -1
n ist ne Variable, oder?
Also würde x^2 dann dem Schema von x^n entsprechen?
Und wieso auf einmal n+1? Ich wüsste jetzt rein gar nicht wie ich das auf meinen Beispielbruch anwenden sollte.

[Mog]

mh, ich rechne mal kurz ein Beispiel aus meinem Ordner:

1) 10/x^2
2) 10/-1x^{-1}
3) -10/1x

1) will ich aufleiten
Aber wenn ich mir 3) ansehe, merke ich dass das der Nenner nicht abgeleitet wird.

Die Ableitung von x^2 wäre 2x^1.
Die Aufleitung (Stammfunktion) von x^2 wäre 1/3 * x^3.


Nein, denn nach der obigen Rechnung kann das Schema aus meinem vorigen Post nicht allgemeingültig sein. Der Vorzeichenwechsel im Zähler ist zwar richtig, aber die Ableitung vom Nenner ist scheinbar Nonsens.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

n ist ne Variable, oder?
Also würde x^2 dann dem Schema von x^n entsprechen?
Und wieso auf einmal n+1? Ich wüsste jetzt rein gar nicht wie ich das auf meinen Beispielbruch anwenden sollte.

Das Wort "Aufleitung" ist kein mathematischer Begriff und macht auch umgangssprachlich keinen Sinn. Du redest von einem unbestimmten Integral.

Weiters gibt es nicht nur eine Stammfunktion, sondern eine Gruppe von Stammfunktionen. Wie du bestimmt gemerkt hast, fallen beim Ableiten die Konstanten weg. Ueber die unbestimmte Integration ermittelst du also /eine/ und keinenfalls /die/ Stammfunktion. Alle Stammfunktionen erhaelst du, wenn du eine frei waehlbare Konstante (ueblicherweise dein + C) zu deiner ermittelten Stammfunktion addierst/subtrahierst. Insofern du das nicht machst, hast du nur eine spezielle Stammfunktion, bei der die Konstante C=0 ist.


Bei all deinen Beispielen ziehst du erst einmal die Konstante vor dein Integral, und ignorierst sie. Danach musst du nur folgende Identitaet kennen:

{x^{-1}} = {{1}\over{x}}

Der Rest loest sich nach Umschreiben nach folgendem Schema:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^n+dx

[Davy Jones]

Bei all deinen Beispielen ziehst du erst einmal die Konstante vor dein Integral, und ignorierst sie. Danach musst du nur folgende Identitaet kennen:
Oh gott, soviele Möglichkeiten diesen Post misszuverstehen xD

Ist mir schleierhaft, as said ich weiß nicht wie man sowas auf einen Bruch mit x im Nenner anwenden soll:
x^n * dx = x^n+1/n+1
Kann ich das fettgeschriebene auf -2/x^3 anwenden? Ich weiß es wirklich nicht xD, ich fühle mich wie auf einem gewienerten Glasberg, überall rutsche ich aus =<

Ich versuchs einfach mal hiermit, Mathe ist mein mit Abstand schlechtestes Fach (hey, sogar in Chemie hatte ich ne 2):
http://www.oberprima.com/index.php/stammfunktion-von-einem-bruch/nachhilfe

Auf Basis dieses Videos, hier ein ultimatives Beispiel mit Bildern (ich hasse diese Zeichensetzung mit ^ und /)
http://img214.imageshack.us/img214/1333/cdsacdscdscds.png
1. Zeile:
Meine Funktion die ich ableiten will. Ich forme sie zunächst um, indem ich mir den Nenner auf den Bruchstrich hole und den Exponenten ins Negative zieh. Unter dem Bruchstrich steht immer 1.

2. Zeile:
Hier gibt es mehrere Schritte. Als erstes "erwärme" ich den Exponenten immer um +1. Anschließend nehme ich den Koeffizienten aus f(x) (grüner Kreis) und teile ihn durch den neuen Exponenten aus F(x) (roter Kreis). -2 geteilt durch -2 ist in diesem Falle 1.

3. Zeile:
Ich forme das ganze wieder um, x^-2 ist in diesem Falle +1/x^2.
x^2 entsteht durch die x^-2 (genauso würde bspw. x^3 durch x^-3 geformt werden.)
Ein negatives Vorzeichen kann hier nicht übernommen werden (siehe untere Aufgabe mit diesem Fall).

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http://img214.imageshack.us/img214/3130/safdsfsdfdsf.png
1. Zeile:
Meine Funktion die ich ableiten will. Ich forme sie zunächst um, indem ich mir den Nenner auf den Bruchstrich hole und den Exponenten ins Negative zieh. Unter dem Bruchstrich steht immer 1.

2. Zeile:
Hier gibt es mehrere Schritte. Als erstes "erwärme" ich den Exponenten immer um +1. Anschließend nehme ich den Koeffizienten aus f(x) (grüner Kreis) und teile ihn durch den neuen Exponenten aus F(x) (roter Kreis). 1 geteilt durch -1 ist in diesem Falle -1.

3. Zeile:
Ich forme das ganze wieder um, x^-1 ist in diesem Falle +1/x^1 (genauso würde bspw. x^3 durch x^-3 geformt werden.).
Das negative Vorzeichen krieg ich von -1x^-1 aus der zweiten Zeile.

Wäre gut wenn jemand mit Ahnung was zum fettgedruckten in den Zeilen 1-3 sagen könnte. Mit der 1 unterm Bruchstrich (Zeile 1) hadere ich noch weil ich nicht weiß, wie sich das mit bspw. mit einem Nenner 4x^3 verhalten würde.

[eoc]

[A]Btw, wie kann man eigentlich den Formel-Text von TheBiber generieren?
Ist das eine spezielle Forenfunktion? Sieht auf jeden Fall besser aus als meine Schreibweise.
[B]Kann man dieses Schema allgemeingültig verwenden? Vor allem die Sache mit dem Vorzeichen interessiert mich.
A: Das ist eine Foren-Funktion (im Editor rechts oben), die einen TeX-Compiler bereitstellt. Und der generiert schönen (früher noch schöneren) Mathesatz. Die grundlegenden Sachen kannst du dir schon aus dem Thread hier beibringen, ansonsten z.B. hier (http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs44/abschnitt1_3.html) oder irgendwo sonst nachschauen.

B: Auch wenn du den Zusammenhang schon mehrfach hier hingeschrieben hast (Integrieren = Gegensatz von Differenzieren), nochmal deutlich - um zu prüfen, ob deine Ergebnisfunktion F eine Stammfunktion von f sein kann, einfach ableiten. Dann müsste ja wieder f dabei herauskommen, nicht? ;)
Am besten spielst du mal mit einer Funktion wie x^4 herum und überlegst dir dabei selbst, wieso eine Stammfunktion immer aussehen muss wie \frac{1}{5} \cdot x^5 \; +C. Stichwort Ableitung.
Danach schaust du dir z.B. an, was du bei f(x) = \frac{1}{2} \cdot x^4 beachten musst und wie und wieso sich die Stammfunktionen jetzt verändern... :)
Deswegen kannst du auch die Regeln von Max und Mog bei Polynomfunktionen immer anwenden. Und wenn du das oben selbst nachvollzogen hast, dann hast du auch auf jeden Fall das Prinzip verstanden!
*e Das hilft wahrscheinlich besser als wenn wir dir jetzt mit Bildern erklären, was du eigentlich machen müsstest... ^^

[Davy Jones]

Die Formel mit dem n+1 verstehe ich leider kein Stück, da ich mir nicht bildlich vorstellen kann diese auf einen Bruch mit x im Nenner anzuwenden.


Am besten spielst du mal mit einer Funktion wie http://www.multimediaxis.de/cgi-bin/mimetex.cgi?x%5E4 herum und überlegst dir dabei selbst, wieso eine Stammfunktion immer aussehen muss wie http://www.multimediaxis.de/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%20%5Ccdot%20x%5E5%20%5C;%20+C. Stichwort Ableitung. Das ist ja nicht schwer:
- Exponent +1
- Dann das ganze mit 1/Exponent+1 multiplizieren.

Wenn du in deinem Beispiel noch 3/4x^5 verwendet hättest, wären die 3/4 einfach verrechnet worden:
1/5 * 3/4x^5
= 0,15x^5

Einzig allein der Bruch ärgert mich, darum ja diese beiden Beispiele oben und die Frage, ob denn auch alles was ich dazu geschrieben habe, korrekt ist.

[eoc]

Die Formel mit dem n+1 verstehe ich leider kein Stück, da ich mir nicht bildlich vorstellen kann diese auf einen Bruch mit x im Nenner anzuwenden. <>
Das ist ja nicht schwer:
- Exponent +1
- Dann das ganze mit 1/Exponent+1 multiplizieren. Genau das sagt auch die "n+1"-Formel, deshalb hab ich es so hingeschrieben. Der Exponent wird einfach als n bezeichnet ;)

Wenn du als ersten Schritt alle Brüche wie \frac{2}{x^2} oder \frac{-2}{x^3} in Teile auflöst und dir damit klar machst, was da eigentlich steht, ist es kein Problem mehr. Wie oben gesehen.

Also ist das in deinem Beispiel \frac{-2}{x^3}\,=\,-2 \cdot \frac{1}{x^3}\,=\,-2 \cdot x^{-3}. Weiter geht ganz sicher selbst!

[MaxikingWolke22]

Es macht überhaupt keinen unterschied, ob x im zähler oder nenner steht.
1/x^3=x^-3, also n=-3, und dann geht es doch einwandfrei!

[Davy Jones]

1/x^3=x^-3, also n=-3, und dann geht es doch einwandfrei!
Ich hab die Funktion 1/x^3 mal durchgerechnet:

Meine Variante, keine Ahnung allerdings was mit den 0,5 passieren soll:
http://img36.imageshack.us/img36/6606/bsp.png

Die n+1Variante aus diesem Link, ich kriege allerdings kein Ergebnis raus weil ich Probleme mit dem Umformen habe:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^n+dx
http://img6.imageshack.us/img6/1204/bsp2u.png


und dir damit klar machst, was da eigentlich steht, ist es kein Problem mehr. Wie oben gesehen.
Ich hab keine Ahnung, wie ich deine Rechnung in der n+1-Formel identifizieren könnte. Ich brauche es allerdings genau, um die Mechanik dahinter zu verstehen.

[MaxikingWolke22]

ja aber wieso ist -0.5 * x^-2 == -2/x ?????

das ist einfach -0.5/x^2 und fertig. das erste ergebnis ist richtig!

(-0.5 * x^-2 )' = -2 * -0.5 * x^-3 = x^-3 = 1/x^3

[Davy Jones]

das ist einfach -0.5/x^2
Moment, warum hast du hier einfach das Vorzeichen des Exponenten verändert?


ja aber wieso ist -0.5 * x^-2 == -2/x ?????
x^-2 umgewandelt in 2/x, das Vorzeichen hab ich mir von den -0,5 geklaut.

So ergibt sich -2/x, ich konnte bei dieser Umwandlung nur nix mit den 0,5 anfangen.

[MaxikingWolke22]

nein, ganz bestimmt NICHT
x^-2 = 1/x^2
das vorzeichen verändert sich folgendermaßen: x^-2 = 1 [GETEILT DURCH] x^2. Das ist so definiert.

du musst dir die exponentialrechnung usw. mal ein bisschen genauer angucken. Die vorzeichen im Exponenten kann man nämlich nicht einfach so da rausziehen http://www.multimediaxis.de/images/smilies/old/s_032.gif

-0.5 * x^-2 ist einfach -0.5 / x^2 oder -1/(2x^2)

[Davy Jones]

x^-2 = 1/x^2
das vorzeichen verändert sich folgendermaßen: x^-2 = 1 [GETEILT DURCH] x^2. Das ist so definiert.
ok, das stimmt.


-0.5 * x^-2 ist einfach -0.5 / x^2 oder -1/(2x^2)
yop, ist verständlich. Hab jetzt mal noch mehrere Aufgaben durchgerechnet, und bin jedesmal auf die Lösung von der Tafel gekommen.

Ich denke mal, die Sache ist abgehakt, dankedanke =)

Eine einzige Sache wäre da noch:

f(x) = x^2 - 3x

Wie lautet F(x), wenn der Graph von F(x)
a) die y-Achse bei -1 schneidet
b) die x-Achse bei 2 schneidet

Ein Ansatz reicht mir hier schon völlig aus.

[eoc]

1) Normal integrieren, dabei das hier beachten:

Weiters gibt es nicht nur eine Stammfunktion, sondern eine Gruppe von Stammfunktionen. Wie du bestimmt gemerkt hast, fallen beim Ableiten die Konstanten weg. Ueber die unbestimmte Integration ermittelst du also /eine/ und keinenfalls /die/ Stammfunktion. Alle Stammfunktionen erhaelst du, wenn du eine frei waehlbare Konstante (ueblicherweise dein + C) zu deiner ermittelten Stammfunktion addierst/subtrahierst. Insofern du das nicht machst, hast du nur eine spezielle Stammfunktion, bei der die Konstante C=0 ist.
Zur Bestimmung dieser Konstanten gibt es nämlich jetzt Hinweise in Form von zwei Punkten, durch die der Graph der Funktion verläuft. Das heißt, dass du
2) durch Addition bzw. Subtraktion der Konstanten die Funktion F so 'verschiebst', dass sie deine beiden angegebenen Punkte trifft.

[MaxikingWolke22]

f(x)=x^2-3x
F(x)=1/3 * x^3 - 3/2 * x^2 + C
a) F(0)= 0 + C = -1 => C=-1
b) F(2)= 0
=> 1/3* 2^3 - 3/2 * 2^2 + C = 0
=> 8/3 - 12/2 + C = 0
=> C = 12/2 - 8/3 = 18/3 - 8/3 = 10/3

[Davy Jones]

Danke, ist alles verständlich =)