Mathe, 1. Semester: Gruppenhomomorphismen (R,+)->(Z,+)

[Orgienmeister]

hallo leute,

muss grad für ne mathevorlesung im 1. semester die folgende aufgabe lösen:
bestimmen sie alle gruppenhomomorphismen a: (R,+)->(Z,+)

hab gruppenhomomorphismen eigentlich ganz gut verstanden und bin der meinung, dass es hier nur einen gibt (den "trivialen":a:gER->0 wobei gER heißen soll, das g element der reellen zahlen seil soll), aber ich müsste ja dann noch beweisen, dass es sonst keine mehr gibt. hat jemand ne idee, wie das gehen könnte? denke, es hängt damit zusammen, dass Z ne Untergruppe von R ist und es deswegen schwierig ist, zb. irrationale zahlen in Z abzubilden, ohne die regeln für einen gruppenhomomorphismus zu verletzen, aber ich hab keine ahung, wie ich da ansetzen soll. kann mir da jemand helfen? vielen dank :-)

[dead_orc]

Hm, schwierig. Könnt ihr Abzählbarkeit verwenden? Falls ja, würde ich damit argumentieren, dass R überabzählbar ist und dass deswegen a: R → Z nicht injektiv sein kann. Dann würde ich mir zwei Elemente r_1,r_2 \in \mathbb{R}, r_1 \neq r_2 suchen, wobei a(r_1)=a(r_2)\neq 0 ist. Dann ist nämlich a(r_1+(r_2-r_1))=a(r_2) \neq a(r_1)+a(r_2-r_1), was den Regeln eines Gruppenhomomorphismus entspricht, da a(r_2-r_1) hoffentlich nicht das neutrale Element ist. *kratz*

Etwas verzwickt, und ich steig selbst noch nicht so ganz durch. Vielleicht hilfts dir ja aber... ^^'

Edit: Yieks, das TeX-Rendering hier sieht ja grausam aus. Das war auch mal besser...

[gas]

Naja, die Abbildung ist ja nicht injektiv, deshalb könnte r2-r1 durchaus im Kern liegen...

Folgendes müsste funktionieren:

Angenommen f : R-->Z ist ein Homomorphismus. Sei x in R.
Es gilt n*f(x/n) = f(x) für alle n in N.
Entweder gibt es ein n, so dass f(x/n)=0, dann ist auch f(x)=0.
Oder f(x/n) ungleich 0 für alle n in N. Dann wird f(x) von jeder natürlichen Zahl geteilt, also f(x)=0.
Also insgesamt f=0. #

Ich hatte mir erst einen viel komplizierteren Beweis ausgedacht, aber so geht's viel einfacher.