Mathe - Alternativtest

[thickstone]

Hey!

Ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann. Uns wurde das Thema mehr oder weniger unzureichend erklärt und nun stehe ich vor folgender Aufgabe. Ich bräuchte nur jmd., der mir anhand der Aufgabe sagt, was ich wie rechnen soll und wie ich sowas angehe. Also ihr braucht mir das nicht vorrechnen, außer, ihr habt da Lust zu :)

Aufgabe:

Eine Kontrollbehörde testet Lieferungen von Kondomen unterschiedlicher Qualität. Eine Lieferung soll auf die Qualität hin untersucht werden. Erste Qualität bedeutet, es befinden sich nicht mehr als 1% fehlerhafte unter den Kondomen, bei der zweiten Qualität werden bis zu 5% Ausschuss in Kauf genommen. Man testet 300 Kondome.

Entwirf einen Alternativtest, nach dem die Lieferung als erst- oder zweitklassig eingestuft werden soll. Berechne den Fehler 1. und den Fehler 2. Art. Welchen Fehler gilt es hier zu vermeiden?

Als kritischen Wert habe ich hier 9 genommen, das ist der Mittelwert beider Erwartungswerte. Gäbe es was Sinnvolleres?
Und wie gehe ich nun weiterhin vor?

[MaxikingWolke22]

ich bin mir nicht sicher, was der Lehrer hören will, aber ich denke, man kann den Erwartungswert direkt mit den Prozentzahlen berechnen, also weniger als 3 Kondome ({0,1,2}), dann weniger als 15 ({3,4,5,...,14}) fehlerhafte.


Fehler erster art bedeutet meist falsch positiv

In der Statistik besteht beim Testen von Hypothesen ein Fehler 1. Art darin, eine Nullhypothese zurückzuweisen, obwohl sie wahr ist. [wikipedia]
Fehler zweiter art bedeutet falsch negativ.

Wir definieren: Hypothese: Die Kondome ist i.O.
Das bedeutet beim fehler 1. art: Die lieferung wird als schlecht deklariert, obwohl sie gut ist (weil wir bei der Stichprobe "Pech" hatten)
und fehler zweiter art: die lieferung ist schlecht, wird aber als gut befunden.

natürlich gilt es zu vermeiden, dass schlechte(re) Kondome unter dem Prädikat "gut" verkauft werden, also der Fehler 2. Art muss minimiert werden.

So genau weiß ich aber nicht weiter. Soviel erstmal generell. Frag mal die NerdsGötter, die wissen weiter.

[thickstone]

ich bin mir nicht sicher, was der Lehrer hören will, aber ich denke, man kann den Erwartungswert direkt mit den Prozentzahlen berechnen, also weniger als 3 Kondome ({0,1,2}), dann weniger als 15 ({3,4,5,...,14}) fehlerhafte.


Fehler erster art bedeutet meist falsch positiv

Fehler zweiter art bedeutet falsch negativ.

Wir definieren: Hypothese: Die Kondome ist i.O.
Das bedeutet beim fehler 1. art: Die lieferung wird als schlecht deklariert, obwohl sie gut ist (weil wir bei der Stichprobe "Pech" hatten)
und fehler zweiter art: die lieferung ist schlecht, wird aber als gut befunden.

natürlich gilt es zu vermeiden, dass schlechte(re) Kondome unter dem Prädikat "gut" verkauft werden, also der Fehler 2. Art muss minimiert werden.

So genau weiß ich aber nicht weiter. Soviel erstmal generell. Frag mal die NerdsGötter, die wissen weiter.

Hey, danke, das ist auf jeden Fall hilfreich.

Die Frage ist jetzt eben, wie man die Fehler berechnet. Also als kritische Zahl nehme ich jetzt einfach 9, basta :D
Muss ich jetzt P (9<x<300) berechnen für z.B. Fehler 1? Wäre sinnlos irgendwie. Meine Lehrerin meinte auch, dass es so viel Rechenarbeit sei. Nur wieso? :\

[MaxikingWolke22]

also:

Wenn die Hypothese stimmt (und das nehmen wir an), dass <1% (wir machen erstmal 1%) schlecht sind, dann sollten wir den erwartungswert bestimmen mit µ=n*p=3.

wir haben aber <1% (siehe aufgabe), daher muss man gucken, ob man die drei noch mitzählt oder nicht (bei z.b. 0,9 wären wir bei 2,7 - gerundet 3)

Du bestimmst dann die Wahrscheinlichkeit, dass - bei 1%kaputt - in der Stichprobe mit Umfang 300 genau 1,2,3,...,300 kaputte auftreten.

Dann legst du (vorher :)) eine grenze fest, ab der du die Lieferung annehmen oder ablehnen willst. sagen wir, 2 (oder 3). du bestimmst dann die wahrscheinlichkeit, dass bei 1% chance je kondom wir insgesamt auf 0,1,2,...10 kaputte kondome kommen (der Graph hat dann diese Glockenform).
Angenommen, bei mehr als zwei kaputten kondomen lehnen wir die lieferung ab und sagen: schlechte ware!, dann tritt dieses ereignis mit einer wahrscheinlichkeit von Sum[P(i),{i,3,300}] auf (also die Wahrscheinlichkeiten kumuliert für 3,4,5,...,300 kaputte kondome) [Das Sum ist die Eingabe für das Programm Mathematica, nachdem man P definierte;)] (ODER du arbeitest mit gegenwahrscheinlichkeit...)

Diese Wahrscheinlichkeit ist dann der fehler 1. art, denn bei mehr als 2 (3 oder mehr) kaputten kondomen lehnen wir die lieferung ab, obwohl die ware gut ist und wir nur pech hatten bei der stichprobe.

Der Fehler zweiter Art lässt sich nicht berechnen. Er bedeutet ja, dass die Hypothese "ein prozent oder weniger sind kaputt, der rest einwandfrei" falsch ist, aber dennoch nehmen wir die lieferung an.
wenn aber die hypothese falsch ist, haben wir keine wahrscheinlichkeit - wir wissen nur, dass die wahrscheinlichkeit NICHT 1% ist - und keinen erwartungswert. daher können wir die wahrscheinlichkeit für den beta-fehler nicht kalkulieren.

[thickstone]

Einige Sachen bleiben noch unklar, aber trotzdem schonmal danke ;)


Du bestimmst dann die Wahrscheinlichkeit, dass - bei 1%kaputt - in der Stichprobe mit Umfang 300 genau 1,2,3,...,300 kaputte auftreten.

Wieso denn? Davon abgesehen: Das ist ohne Exel doch ein mega Rechenaufwand, da ich für 300 Kondome einzelnd die Wahrscheinlichkeit überprüfen muss. Da verstehe ich bestimmt was falsch....


du bestimmst dann die wahrscheinlichkeit, dass bei 1% chance je kondom wir insgesamt auf 0,1,2,...10 kaputte kondome kommen (der Graph hat dann diese Glockenform).

Wieso? ^^ Und wie kommst du auf die 0-10 Kondome?

Der Rest ist klar.

[MaxikingWolke22]

alright,

habt ihr kein CAS? Oder lad dir Mathematica 7 runter, dass ist dann die 1337-version eines Taschenrechners. Kostet, wenn man es mit der Legalität genau nimmt, etwa 3100€. also mathematica, der CAS-TR etwa 120.

Es gibt einen Befehl BinomPdf, der die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass bei bestimmter Anzahl n und erwartungswert µ (bzw. gegebener ereigniswahrscheinlichkeit p) genau k erfolge auftreten (Beispiel: BinomPdf[300,0.01,10] berechnet wahrscheinlichkeit, dass bei insgesamt 300 versuchen mit wahrscheinlichkeit 1% 10 erfolge auftreten)

Es gibt furthermore den befehl binomCdf [ich spreche gerade vom Texas Instruments TI-89 Titanium], der bei der eingabe BinomCdf[300,0.01,10] die wahrscheinlichkeit, dass höchstens 10 kondome kaputt sind, berechnen würde. also
BinomCdf[300,0.01,10]=
BinomPdf[300,0.01,0] +
BinomPdf[300,0.01,2] + ... +
BinomPdf[300,0.01,10]
C steht für kumuliert, by the way

alternativ, wenn du kein excel oder CAS hast, nimmst du nur die wahrscheinlichkeiten für 0-10 geplatzte kondome, weil die wahrscheinlichkeit für 11 und mehr sehr gering ist [erwartungswert 3; daher ist die wahrscheinlichkeit, bei 300 versuchen mit 0.01 wahrscheinlichkeit 10 anstatt 3 erfolge zu haben, ungefähr null]. du kannst die grenze auch bei 8 ziehen, denke ich (berechne einfach mal die wahrscheinlichkeiten, und die, ab der es unter 0,05% liegt, würde ich als ~0 abtun).

am wahrscheinlichsten sind halt 3 kaputte kondome (300*0.01), die glockenkurve hat dann da ihr maximum und geht dann rechts und links runter. sie berührt nie die x-achse, hat diese aber als asymptote. sprich: für x ungefähr ab 10 aufwärts ist p(x)->0

Nur als Beispiel:

Wahrscheinlichkeit für 10 kaputte Kondome ist
(300 über 10)*0.01^10*0.99^290

Mathematica sagt:
In[2]:= Binomial[300, 10]*0.01^10*0.99^290

Out[2]= 0.000758251

Letzer Edit: wenn du ganz lieb bist und meinen Beitrag positiv bewertest, bekommst du auch das hier:
In[3]:= Plot[Binomial[300, x]*0.01^x*0.99^(300 - x), {x, 0, 15}]

Out: Siehe anhang!!

y-achse wahrscheinlichkeiten, x-achse anzahl der kondome bei 0.01.: maximum der wahrscheinlichkeitsverteilung bei 3 (=erwartungwert µ)

[thickstone]

alright,

habt ihr kein CAS? Oder lad dir Mathematica 7 runter, dass ist dann die 1337-version eines Taschenrechners. Kostet, wenn man es mit der Legalität genau nimmt, etwa 3100€. also mathematica, der CAS-TR etwa 120.

Es gibt einen Befehl BinomPdf, der die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass bei bestimmter Anzahl n und erwartungswert µ (bzw. gegebener ereigniswahrscheinlichkeit p) genau k erfolge auftreten (Beispiel: BinomPdf[300,0.01,10] berechnet wahrscheinlichkeit, dass bei insgesamt 300 versuchen mit wahrscheinlichkeit 1% 10 erfolge auftreten)

Es gibt furthermore den befehl binomCdf [ich spreche gerade vom Texas Instruments TI-89 Titanium], der bei der eingabe BinomCdf[300,0.01,10] die wahrscheinlichkeit, dass höchstens 10 kondome kaputt sind, berechnen würde. also
BinomCdf[300,0.01,10]=
BinomPdf[300,0.01,0] +
BinomPdf[300,0.01,2] + ... +
BinomPdf[300,0.01,10]
C steht für kumuliert, by the way

alternativ, wenn du kein excel oder CAS hast, nimmst du nur die wahrscheinlichkeiten für 0-10 geplatzte kondome, weil die wahrscheinlichkeit für 11 und mehr sehr gering ist [erwartungswert 3; daher ist die wahrscheinlichkeit, bei 300 versuchen mit 0.01 wahrscheinlichkeit 10 anstatt 3 erfolge zu haben, ungefähr null]. du kannst die grenze auch bei 8 ziehen, denke ich (berechne einfach mal die wahrscheinlichkeiten, und die, ab der es unter 0,05% liegt, würde ich als ~0 abtun).

am wahrscheinlichsten sind halt 3 kaputte kondome (300*0.01), die glockenkurve hat dann da ihr maximum und geht dann rechts und links runter. sie berührt nie die x-achse, hat diese aber als asymptote. sprich: für x ungefähr ab 10 aufwärts ist p(x)->0

Nur als Beispiel:

Wahrscheinlichkeit für 10 kaputte Kondome ist
(300 über 10)*0.01^10*0.99^290

Mathematica sagt:
In[2]:= Binomial[300, 10]*0.01^10*0.99^290

Out[2]= 0.000758251

Letzer Edit: wenn du ganz lieb bist und meinen Beitrag positiv bewertest, bekommst du auch das hier:
In[3]:= Plot[Binomial[300, x]*0.01^x*0.99^(300 - x), {x, 0, 15}]

Out: Siehe anhang!!

y-achse wahrscheinlichkeiten, x-achse anzahl der kondome bei 0.01.: maximum der wahrscheinlichkeitsverteilung bei 3 (=erwartungwert µ)

Hey, danke für deine Mühe! Hat mir geholfen.

Nur: Wie kann ich das bewerten? Klicke auf das Yin-Yang Zeichen und dann wird mir gesagt, dass ich das nicht darf :\

[eoc]

H_0: p_0=0.01\;\;\;H_1: p_1=0.05
Jetzt benötigst du zum einen ein Konfidenzintervall (hach, das klingt so toll) - eine Irrtumswahrscheinlichkeit sozusagen und zum anderen Grenzen, innerhalb denen du die Lieferung annimmst (also p_0 für zutreffend hälst). Wenn keine Irrtumswahrscheinlichkeit angegeben ist, wird meist auf 95% Genauigkeit geprüft, was einer Umgebung von [\mu-1.96\sigma_0 ..\mu ..\mu+1.96\sigma_0] entspricht. Die genauen Werte berechne ich jetzt mal nicht, du hast ja n und p_0 angegeben. Und dass die Moivre-Laplace-Bedingung für p_0 nicht erfüllt wird, lass ich auch unter den Tisch fallen ^^
Innerhalb dieser Umgebung sollen jetzt also 95% der Verteilung liegen (dazu z.B. hier (http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung#Approximation_der_Binomialverteilung_durch_die_Normalverteilung) mehr Info und auch Rechenhilfe), alles außerhalb fällt unter den Fehler 1. Art.


Beim Fehler 2. Art berechnest du jetzt faktisch die neue Verteilung mit neuem p_1\, ,\;\mu_1 und \sigma_1, die Grenzen der Binomialverteilungs-Summe oder des Normalverteilungs-Integrals allerdings bleiben die alten. Damit hast du dann den Teil der neuen Verteilung, der innerhalb der alten Annahmegrenze liegt. Wie Max schon richtig sagte, muss auf jeden Fall minimiert werden, dass p_1 zutrifft und ich aber an H_0 mit p_0 festhalte (also der Fehler 2. Art).