Fragen zu Eigenvektoren und Jordanform

[noRkia]

da die klausur naht muss ich mich dieser unklarheit doch noch stellen :)
meine frage konkret:

gibt es zu einem eigenwert einer matix der vielfachheit n,auch immer genau n eigenvektoren?

denn der satz sagt:

Das charakt. Polynom f zerfalle in Linearfaktoren: *trallala*
Dann existiert eine Basis/Matrix B von V
bei der auf der diagonalen die jordenkästchen stehen.


die frage ist jetzt weiterhin,welche grösse die jordankästchen haben.

meine vermutung ist,dass die grösse genau der vielfachheit des eigenwertes entspricht und es genau so viele kästchendwie eigenwerte gibtddamit die matrix eine n x n matrix gibt,was sie sein mussdweil es eine basis von V sein soll.

stimmt das so?

wenn das stimmt:

wow das hiesse ja das man aus jeder matrix A aus End(V) eine basis von V bekommt?!

[TheBiber]

Passt schon würde ich sagen, klingt jedenfalls sinnvoll. Wieso sollte man nicht aus jeder regulären Matrix eine Basis erhalten? Sowas wird bei Koordinatentransformationen und der Analyse von Differentialgleichungen regelrecht ausgenutzt.

Problematisch sind halt nur singuläre Matrizen, da hier Eigenwerte null werden, spannen die Eigenvektoren lediglich einen Unterraum von V auf.

[gas]

Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich meine, es war wie folgt:

Die Jordansche Normalform besteht aus λ-Blöcken, auf deren Diagonalen die Eigenwerte stehen. Zu jedem Eigenwert λ gibt es genau einen λ-Block.
Die Größe eines λ-Blocks ist die algebraische Vielfachheit von λ (also die Vielfachheit von λ als Nullstelle im charakteristischen Polynom, oder anders ausgedrückt: Die Größe des verallgemeinerten Eigenraumes zu λ).
Jeder λ-Block ist unterteilt in mehrere Jordanblöcke. Die Dimension des Eigenraums von λ gibt an, aus wievielen Jordanblöcken der λ-Block besteht.


wow das hiesse ja das man aus jeder matrix A aus End(V) eine basis von V bekommt?!Wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, dann gibt es eine Jordan-Basis (von V), also eine Basis, so dass die Matrix bezüglich dieser Basis gerade die Jordansche Normalform hat, das stimmt. Die Jordansche Normalform selbst kann man immer relativ leicht berechnen, aber die Jordan-Basis nur mit großem Aufwand.

[noRkia]

ok wer lesen kann ist klar im vorteil.nach wikipedia und mehreren mathe seiten und 2 vollen tagen in denen ich die anderen sachen hätte lernen können ist es mir gelungen das problem auszumachen.

ich formuliere es also nochmal komplett selbst zusammenfassend:

sei A eine matrix mit den eigenenwerten λi und zwar so das das charakteristischer polynom komplett zerfällt!

die jordanform von A besteht dann aus matrix die genau
die selbe dimension wie A hat.
in dieser stehen die sogenannten λ blöcke,die ausser gas niemand erwähnt,
es gibt genau so viele λ blöcke wie es VERSCHIEDENE eigenwerte gibt.
wenn es zb. nur n-1 verschiedene eigenwerte gibt die matrix aber die dimension nxn hat muss logischerweise ein eigenwert 2 mal vorkommen.
also hat dieses λk die vielfachheit 2.
deshalb hat der sogennante λk block auch die dimension 2.
und nun
stehen aber in den λ blöcken noch die jordanblöcke die genau die grösse haben die gleich der dimension des eigenraumes zu ihrem entsprechendem eigenwert sind.

in allen fällen die ich bisher ausprobiert habe ist es so das die dimension des eigenraumes,also die anzahl linear unabhängiger eigenvektoren,genau gleich der algebraischen vielfachheit des entsprechenden eigenwertes sind.
das heist das die jordanmatrix also ausieht das jeder λ genau so gross ist wie die vielfachheit und des eigenwertes und damit gleich seinem jordanblock.

oder anders ausgedrückt auf der diagonalen stehen stehen immer die eigenwerte und zwar so so oft wie sie eben als nullstellen des charakteristischen polynoms vorkommen.
der rest des matrx sind komplett nullen.
einizige ausnahme:
hat ein eigenwert die vielfachheit 2 oder höher schreibt man sie "nebeneinander" und füllt die einträge darüber mit 1'sen auf.

das müsste doch stimmen.

edit:

die jordanbasis ist die matrix die die ursprüngliche matrix A in die jordanform überführt.
diese auszurechnen ist nicht ganz so schwer.
man muss nur die eigenvektoren von A und die sog hauptvektoren,die ich bis eben auch nicht kannte,als matrix aufschreiben und diese dann eben noch invertieren und dann die übliche formel anwenden.

das hatten wir allerding nicht mit den hauptvekoren,dabei scheint es zu stimmen :)

[gas]

Ich kann soweit keinen Fehler ausmachen, scheint alles zu stimmen. Den Begriff vom Hauptvektor hatten wir auch nur in einem Beispiel, dass die Professorin vorgerechnet hat, deshalb kenne ich mich da auch nicht aus.

die jordanform von A besteht dann aus matrix die genau die selbe dimension wie A hat.
in dieser stehen die sogenannten λ blöcke,die ausser gas niemand erwähnt,
es gibt genau so viele λ blöcke wie es VERSCHIEDENE eigenwerte gibt.In meiner Vorlesung gab es λ-Blöcke, aber normalerweise gibt man denen wohl keinen Namen. Bei Wikipedia steht "Zu jedem Eigenwert λ gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordan-Blöcke." Diese verschiedenen Jordanblöcke zum selben Eigenwert λ hat mein Prof zusammengefasst und als λ-Block bezeichnet.

[noRkia]

nun is klar was die ganze verwirrung ausgelöst hat.

die λblöcke sind die jordanblöcke
und die dinger da drin sind die jordankästchen.
oft ist beides das gleiche aber nicht immer.
man was fü spasstis ehy,hätten die das mal vorher gesagt :D

am besten besuchst du kurz mal:

http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf

hier steht es weitaus logischer auch weine unklarheit drinne ist.

demnach rechnet man

dim(kern((A-λE)^x)) solange für verschiedene x die maximal gleich der dimension von a sind aus bis sich nicht mehr ändert.dies maximale dimension ist das dann die grösse des grössten jordankästchens im jordanblock.
wenn natürlich der jordan block genau diese grösse oder sogar eine kleinere hat dann ist er komplett voll.
bleibt noch ein rest von 1 dann ist gibt es ein kästchen mit der grösse x und eins mit 1.bleibt der rest 2 nimmt die nächste kleiner grösse der dimension des letzten kernes weil diese kerne ineinander geschachtelt sind.

das müsste aber jetzt echt stimmen :)