[Mathe] Differenzialrechnung, Exponentialfunktion und Logarithmus

[Whiz-zarD]

Moin.
Vielleicht kann mir jemand vielleicht helfen, die folgenden Aufgaben (als Bilddatei) zu lösen und zu erklären.
http://www.npshare.de/files/d4221746/Aufgaben.png

Danke.

[MaxikingWolke22]

aufgabe vier und fünf:

4) für die gleichung der tangente gilt, dass du erst einen punkt, durch den sie geht, feststellen musst. dazu setzt du einfach x0 in f(x) ein. der punkt hat dann die koordinaten (x0|f(x0)), also (1|f(1)).
dann brauchst du noch die gleichung der tangente. da es eine tangente ist, hat sie die gleiche steigung wie f an der betreffenden stelle x0.
diese steigung berechnet sich folgendermaßen über die 1. ableitung: f'(x0) ist die steigung an der stelle x0.
für f(x)=-x²-x+6 ist
f'(x)=-2x-1.
somit ist die steigung an der stelle x0=1 genau -3.
die tangente hat also die steigung -3 und verläuft durch P(1|f(1)). dann eindeutig die tangentengleichung bestimmen.

5)http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Rechenregeln_und_grundlegende_Eigenschaften

erst gilt:

2 ln(x) = ln(x²)
0,5 ln(y) = ln(y^0,5)
1/3 ln(x+y) = 1/3 [ln(x) + ln(1+y/x)]

also:
ln(x²) + ln(y^0,5) - 1/3 [ln(x) + ln(1+y/x)]

aber weiter weiß ich nicht :( wird ja gar nicht einfacher...

EDIT::

das einfachste wäre auf den schnellen blick nur
ln(x²*[y^0,5]/[[x+y]^[1/3]])

also wenn man das ^0,5 und das ^1/3 durch die wurzelzeichen ersetzt, wird es weit übersichtlicher :)

[TheBiber]

Aufgabe 1:
Hier benötigst du folgende Ableitungregeln:

Kettenregel: (f(g(x)))^\prime = f^\prime(g(x))\cdot g(x)
Quotientenregel: \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime = \frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g^2(x)}

Aufgabe 2:
Gedacht ist wohl, das Resultat nur noch mit einem Logarithmus darzustellen. Hier noch die schönere Darstellung von MaxikingWolke22's Lösung: \ln\left(\frac{x^2\sqrt{y}}{\sqrt[3]{x+y}}\right)

Aufgabe 4:
Wurde alles schon gesagt. Ableiten und 1 einsetzen für die Steigung. Dann die Geradengleichung ansetzen: y=mx+b und mit einem vorgegebenen Punkt (x,y) noch b bestimmen.

Aufgabe 5:
Newtonverfahren
Das Newtonverfahren sucht die Nullstellen einer Funktion, d.h. f(x) = 0
Die allgemeine Rechenvorschrift lautet: x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
Und man benutzt hierbei einen vorgegebenen oder erratenen Startwert x_0. In jedem Schritt setzt du nun den Folgewert ein und erhältst so einen Näherungswert für x, sofern das Verfahren konvergiert.

In deinem Fall formst du die Gleichung so um, dass du auf der einen Seite eine null hast und identifizierst die andere Seite als Funktion f(x). Nun kannst du die Rechenvorschrift angeben und den Näherungswert sukzessive verbessern.

[Whiz-zarD]

Erstmal vielen Dank für die Antworten. :)

Aufgabe 1:
Hier benötigst du folgende Ableitungregeln:

Kettenregel: (f(g(x)))^\prime = f^\prime(g(x))\cdot g(x)
Quotientenregel: \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime = \frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g^2(x)}

Also würde das nun konkret bedeuten, dass aus \frac{1}{x^2+1} nun \frac{-2x}{(x^2+1)^2} wird und
wegen dem ln() nun daraus f^\prime(x)=(\frac{-2x}{(x^2+1)^2})^{-1} folgt?

[Mog]

Erstmal vielen Dank für die Antworten. :)

Also würde das nun konkret bedeuten, dass aus \frac{1}{x^2+1} nun \frac{-2x}{(x^2+1)^2} wird und
wegen dem ln() nun daraus f^\prime(x)=(\frac{-2x}{(x^2+1)^2})^{-1} folgt?

Auf den ersten Blick: f'(x)=-2*x/(x^2+1)




\Biber:
Der Herr Elektrotechniker hat ein ' bei der Kettenregel vergessen. :D


EDIT:
Vlt. noch zur Erklärung:

Die Kettenregel lautet: (g(u))' = g'(u)*u'

dh. müssen wir einmal ln(u) ableiten, und einmal das Argument von ln.

Das Argument hast du ja schon abgeleitet:

u = 1/(x^2+1)
u' = -2x/(x^2+1)^2


Beim Rest hast du ich allerdings vertan.

g = ln(u)
g'=1/u

wenn wir jetzt für u einsetzen haben wir folgenden Doppelbruch:

1/(1/(x^2+1))

Auf den ersten Blick sieht man natürlich, dass g' also gleich (x^2+1) sein muss.
g' = (x^2+1)

Und jetzt setzen wir wie gehabt in die Kettenregel ein:


g'(u)*u' = (x^2+1)*(-2x/(x^2+1)^2) = -2x/(x^2+1)


Als ich damals (Man, da war ich ja noch keine 18, geschweige denn 17 O_o) differenzieren in Einer gelernt habe, haben mir diverese Online-Tools recht gut geholfen, meine Lösungen zu überprüfen. Es gibt angeblich sogar welche, die Zwischenschritte anzeigen können.

http://www.numberempire.com/derivatives.php

[TheBiber]

\Biber:
Der Herr Elektrotechniker hat ein ' bei der Kettenregel vergessen. :D

Hmm, schade... ^^

Ich korrigiers trotzdem mal noch in "schönem Tex". ;)

(f(g(x)))^\prime = f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)