[Mathematik] LGS soll unendlich viele Lösungen haben

[Expresseon]

Wie muss r gewählt werden, damit das homogene LGS unendlich viele Lösungen besitzt?

ra+b-2c=0
4a+rb+c=0
2a+3b+5c=0

Homogen heißt ja, dass man Lösungen zu neuen Lösungen addieren kann und Lösungen Vielfache voneinander sind, soweit ich weiß. Unendlich viele Lösungen hat man, wenn man beim Auflösen Gleiches erhält und als Folge einen Parameter einsetzt.

Ich weiß trotzdem nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Soll ich einfach die ersten beiden Gleichungen gleichsetzen und nach r auflösen? Das war meine einzige Idee...

Edit: Habe mit Determinante r = -42 rausgekriegt. Thema erledigt (außer die Lösung ist falsch).

[Dhan]

bei drei Unbekannten und drei Gleichungen hat man genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Gleichungen voneinander linear unabhängig sind, d.h. wenn man keine Gleichung in Abhängigkeit von den andere schreiben kann.
Daher willst du dein r so wählen, dass man eben das kann.

Im Prinzip musst du also ein r finden sodass es Werte x und y gibt mit:
x(ra+b-2c) + y(4a+rb+c) = 2a+3b+5c
oder
x(ra+b-2c) + y(2a+3b+5c) = 4a+rb+c
oder
x(2a+3b+5c) + y(4a+rb+c) = ra+b-2c

Wähl dir eine aus und stell sie als Gleichungssystem über a, b und c auf und du kommst hin


edit: Determinante? Ich hätte getippt, du wärst Schüler bei so einer Aufgabe. Erstie?
Aber mit Determinante geht natürlich auch, ein LGS kann man ja mit dem Gaussverfahren lösen bei dem ja eine Dreiecksmatrix entsteht. Und nur wenn das Ding vollen Rang hat, ist die Lösung eindeutig, sprich wenn du das r so gewählt hast, dass die Determinante 0 ist (<=> der Rang nicht voll ist), passt das natürlich auch (ich nehm mal an, die Variante meintest du mit "über die Determinante"). Bei so kleinen Gleichungssystemen zieh ich meine imho bequemere Variante jedoch vor. Ist aber mit Determinante besser, wenn mans im Allgemeinen lernen will.

[TheBiber]

Edit: Habe mit Determinante r = -42 rausgekriegt. Thema erledigt (außer die Lösung ist falsch).

Mein CAS spuckt r =14/5 und r = -3 aus.


Bei so kleinen Gleichungssystemen zieh ich meine imho bequemere Variante jedoch vor.

Bequemer? o_O

[Expresseon]

@ Dhan:
Ich bin Schüler. Habe aber erst zu spät vor der Aufgabe Erklärungen zur Determinante gelesen und dann damit die Aufgabe gelöst. Also Determinante ausrechnen, 0 setzen, nach r auflösen, fertig.

[Dhan]

Determinanten in der Schule, yay, das mal nicht verkehrt ^^



Bequemer? o_O
Geschmackssache ^^ (ich löse doch so gerne auf)