Integration mit Koordinatentransformation

[noRkia]

hab es eigentlich verstanden aber bei dieser aufgabe harpert es leider.
heute wäre die besprechung gewesen aber ein busstreik hat mein eintreffen in der uni verhindert und die klausur is am freitag morgen arghhh

Sei M={(x,y,z) R³|x,y,z >=0, 1/2 <= x+y+z<=1,1/2<= (y+z)/y+x+z<=1,
0<= z/y+x<=1 }

berechne das integral

§M ((x+y+z)² + ((y+z)/y+x+z)³ + (z/y+x)^4)

es kämen ja nur kugel (oder zylinder koordinaten?) in frage.
mein problem ist das ich wahrscheinlich die variablen irgendwie gegeneinander auflösen muss und dann transformieren muss.
probleme bereiten mir dabei die potenzen im integral ;/
jemand ne idee?

[TheBiber]

Kugelkoordinaten passen da irgendwie nicht, dafür müsste sowas wie x^2+y^2+z^2 dastehen. Ich habe mal rumprobiert mit beispielsweise:

\begin{array}{rcl}r&=&x+y+z\\s&=&1+z\\t&=&\frac{z}{y}+x\end{array}

und komme dann auf das Integral: \int_M r^2+(s+t)^3+t^4 dM

Das Hauptproblem liegt dann halt darin, dM zu bestimmen, hierzu müssen die Differentiale dx, dy und dz als Funktion von r, t und s bestimmt werden, da die Transformation allerdings nicht linear ist, ist es ungemein schwierig, sie umzukehren. Eventuell geht es, wenn die Diffenentiale dr, dt und ds aus der Transformation als Funktion von x, y und z berechnet werden und anschliessend irgendwie umgeformt werden können. Doch bei mehrdimensionalen Differentialen bin ich mir nicht mehr sicher, wie das genau geht, da noch partielle Differentiale hinzukommen könnten.

[noRkia]

könnte man die menge nicht in disjunkte teilmengen zerlegen und dann integral irgendwie auseinanderziehen?

mist schweres ding.aber zu schwer für die klausur denk ich :)

[TheBiber]

Würde ich nicht. Aber wie es der Zufall will, sind die Basen der drei Summanden exakt dasselbe wie der dreidimensionale Integrationsbereich, die Transformation muss also lauten:

\begin{array}{rcl}r&=&x+y+z\\s&=&\frac{y+z}{y}+x+z\\t&=&\frac{z}{y}+x\end{array}

was auf das relativ einfach aussehende Integral \int_M r^2+s^3+t^4 dM führt.

Das Problem bleibt aber praktisch dasselbe. Ich habe mit einem CAS mal die Transformation invertiert, aber das sieht definitiv zu kompliziert aus.

Ah, jetzt kommt mir gerade der Geistesblitz: Man braucht die Determinante der Jacobi-Matrix der Transformation! Man braucht von obiger Transformation also erst einmal alle partiellen Ableitungen und schreibt sie als Jacobi-Matrix auf. Anschliessend berechnet man hiervon die Determinante. Formal gilt dann einfach dM=dxdydz=det(J)\cdot drdsdt und dann solltest du ein einfaches Integral haben:

\int_{\frac{1}{2}}^1 \int_{\frac{1}{2}}^1 \int_0^1 (r^2+s^3+t^4) det(J) drdsdt

[noRkia]

oh
das klingt in der tat recht einfach.
danke.