Maßtheorie - Sigma Algebra -.-

[noRkia]

ich verstehe folgende aufgabenstellung nicht:

"geben sie die durch € erzeugte sigma algebra über * an"

* := [0,4], € := {o,[0,1],[2,4]}

das o im € ist die leermenge.

wiki sagt mir das ich
nur den schnitt über alle teilmengen aus der potenzmenge von * die € enthalten bilden muss oder so :)

wie bilde ich denn die potenzmenge von nem intervall?

ausserdem kommt doch da wieder € raus oder?

[gas]

"geben sie die durch € erzeugte sigma algebra über * an"

* := [0,4], € := {o, [0,1], [2,4]}

das o im € ist die leermenge.Erstmal die Definitionen, damit wir uns einig sind, worüber wir reden.

A Teilmenge der Potenzmenge von * heißt sigma-Algebra, wenn
a) o∈A
b) Für alle X∈A gilt CX∈A
c) Für alle Folgen {Xj}, j∈ IN, in A gilt: Die Vereinigung über alle j∈ IN der Xj ist ∈ A

Das Erzeugnis Erz(€) ist definiert als Schnitt über alle sigma-Algebren über *, die € enthalten. Es ist also insbesondere die kleinste sigma-Algebra, die o, [0,1] und [2,4] enthält. Am einfachsten ist es, wenn wir sie uns Schritt für Schritt zu basteln. Aber alles zu seiner Zeit.


ausserdem kommt doch da wieder € raus oder?
Eine gute Frage. In Mathe ist es wichtig, die richtigen Fragen zu stellen. Diese hier ist eine solche, den sie ist zielführend (was man natürlich dummerweise nicht weiß, bevor man ihr nicht dorthin gefolgt ist, wohin sie einen führt ;)).

Es wäre ziemlich witzlos, wenn tatsächlich Erz(€)=€ herauskommen würde. Warum also passiert das nicht?
Nach Definition ist eine sigma-Algebra abgeschlossen unter Komplementbildung (siehe Definition, Teil b). Nehmen wir jetzt eine beliebige sigma-Algebra A, die € enthält. Da zum Beispiel o∈A ist, muss auch das Komplement Co=*∈A sein.
Weil das für jede sigma-Algebra gilt, die € enthält, ist *∈Erz(€).
An dem Beispiel sehen wir, dass Erz(€) im Allgemeinen größer als € ist.

Mit dieser Überlegung können wir uns nun unsere gesuchte sigma-Algebra Erz(€) basteln.


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Algorithmus zur Bestimmung von Erz(€)
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1) A := €
2) Wähle irgendein X∈A und prüfe ob CX∈A. Wenn nicht, füge CX zu A hinzu. Wiederhole Schritt 2) solange, bis b) für alle X∈A erfüllt ist.

Du erhältst dann A = {o, [0,1], [2,4], *, (1,4], [0,2)}

3) Jetzt muss nach c) die Vereinigung jeder Folge von Elementen aus A ebenfalls in A liegen. Ich glaube, diese Bedingung ist erfüllt. Ich sehe zumindest spontan keine Folge, die das nicht erfüllen würde.

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Also erfüllt das so konstruierte A die Bedingungen a), b) und c) einer sigma-Algebra. Und weil wir nur solche Elemente hinzugefügt haben, die notwendigerweise in A liegen müssen, ist es die kleinste sigma-Algebra.



Das ist mathematisch gesehen natürlich kein besonders elegantes Vorgehen, aber den erwähnten Schnitt praktisch zu bilden ist wahrscheinlich gar nicht möglich.Wenn du in Schritt 3 eine Folge gefunden hättest, deren Vereinigung (nennen wir sie mal U) nicht in A liegt, hättest du U zu A hinzufügen müssen. Danach hättest du aber auch Schritt 2 wiederholen müssen, weil ja nun ein neues Element U zu A hinzugekommen ist, dessen Komplement noch nicht in A liegt. Danach hättest du wiederum 3) wiederholen müssen, weil du mit dem Komplement vermutlich völlig neue Folgen basteln kannst.

Ich weiß es nicht genau, aber es könnte sein, dass es Mengen € gibt, so dass dieser Prozess niemals endet (Stichwort: Halteproblem eines Algorithmus). Bei einer solchen Menge würdest du dann zwischen 2 und 3 hin und herspringen und immer neue Elemente bekommen.
Ist aber nur eine Überlegung. Vielleicht kann man die Existenz solcher Mengen auch ausschließen. http://www.multimediaxis.de/images/smilies/old/1/nixweiss.gif

[noRkia]

danke,das war ja schnell und kompetent :P

hätte der alte das vorne mal richtig erklärt wärs ja nie soweit gekommen.