Integralrechung

[Hero of Happiness]

Juhu, ein neues Thema in Mathe, und Juhu ich komme mal wieder nicht klar. :S

Die Aufgabenstellung lautet:
"Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit f(x) = 0,25x^4 - 4x² und
g(x) = -x² + 16. Berechne die Fläche, die von beiden Funktionsgraphen eingeschlossen wird."

Als Lösung wird 153,6 FE vorgegeben.

Jetzt habe ich angefangen zu rechnen:

Berechnung der Schnittpunkte:
f(x) = g(x)
0,25x^4 - 4x² = -x² + 16
0,25x^4 - 3x² - 16 = 0
x^4 - 12x² - 64 = 0 | Substitution
z² - 12z - 64 = 0 | p-q Formel

z1/2 = 6 +/- Wurzel aus 100
z1/2 = 6 +/- 10
z1 = 16 z2 = -4

Durch Resubstitution erhalte ich also die Schnittpunkte:

x1 = 4 x2 = -4

Dann fange ich mit der Berechnung des Flächeninhalts an:

Das würde ich auch gerne aufschreiben, aber leider komme ich mit diesem komischen Tex-code überhaupt nicht klar, und anders gehts ja schlecht.
Auf jeden Fall bekomme ich nicht das raus, was ich rausbekommen sollte, ich bekomme nämlich 102,4 FE raus.

Könte vielleicht jemand nachgucken ob ich bis hier hin schon einen fehler gemacht habe, oder ggf. einen nachvollziehbaren Lösungsweg posten?

Hoffe auf schnelle Hilfe, Gruß
Lord of Suffering

[TheBiber]

Die TEX-Hilfe von Wikipedia ist sehr hilfreich: http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX

Die Schnittpunkte hab ich mit einem CAS überprüft, die stimmen so weit.

Um den Flächeninhalt zu berechnen, nimmt man den Betrag der Differenz der bestimmten Integrale innerhalb der Schnittpunkte, in Formeln:

A=|\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx|

Hierzu braucht man die Stammfunktionen der Potenzfunktionen, da nur solche auftreten:

\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C

Und dann muss man wissen, dass man beim bestimmten Integral für die Stammfunktion die obere Grenze einsetzt und subtrahiert davon die Stammfunktion mit der unteren Grenze eingesetzt:

\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)

Mit diesen Hinweisen müsstest du die Aufgabe im Prinzip lösen können. Wenn nicht, wird es höchstwahrscheinlich ein Vorzeichenfehler sein, da diese bei Integralen sehr häufig auftreten, zumindest bei mir.

Die Aufgabe vorlösen bringt meiner Meinung nach aber wenig. ;)
Poste doch am besten deine Schritte hin, damit man den Fehler finden kann. Wenn du mit Tex Probleme hast, lass einfach die Integralzeichen weg. Ich denke nicht, dass das Problem beim Verständnis liegt, sondern dass effektiv irgendwo ein Fehler vorliegt.

[Hero of Happiness]

Also gut, folgendes habe ich gerechnet:

A = |\int_{-4}^0(0,25x^4 - 3x^2 + 16)dx| + |\int_{0}^4(-0,25x^4 - 3x^2 + 16)|

= |[-\frac{1}{20}x^5 - x^3 + 16x]| + |[-\frac{1}{20}x^5 - x^3 + 16x]|

= |0 - (51,2 + 64 - 64)| + |(51,2 + 64 - 64) - 0| = |102,4|

Ich hab das von mehreren leuten durchgucken lassen, und niemand, nichtmal meine Nachhilfe kommte mir sagen wo der Fehler ist :S

[TheBiber]

Du hast die Aufgabe falsch aufgefasst. Gefragt ist nach der Fläche, welche die beiden Funktionen f(x) und g(x) einschliessen. Was du hingegen tust, ist diejenige Fläche zu berechnen, welche die Funktion f(x) mit der x-Achse einschliesst, was etwas grundsätzlich anderes ist.

Was tu tust ist das:

http://mitglied.lycos.de/thebiber/flaeche_x_achse.gif

Was aber verlangt ist, ist das:

http://mitglied.lycos.de/thebiber/flaeche_graphen.gif

Wie gesagt, benutze:

A=|\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx| = |\int_{-4}^4 0.25x^4 - 4x^2 dx + \int_{-4}^4 -x^2 + 16 dx|

Dann sollte das richtige Ergebnis herauskommen.

[Hero of Happiness]

Müsste ich dann für die "a" und "b" an den ersten beiden Integralzeichen die Nullstellen der jeweiligen Funktion einsetzen? Oder was für Punkte muss ich da noch berechnen?

[TheBiber]

Müsste ich dann für die "a" und "b" an den ersten beiden Integralzeichen die Nullstellen der jeweiligen Funktion einsetzen? Oder was für Punkte muss ich da noch berechnen?

Die Schnittpunkte, welche du schon berechnet hast. Nullstellen werden bei der Berechnung des Flächeninhaltes zwischen zwei Funktionsgraphen nicht benötigt.

[Hero of Happiness]

Ah, jetzt verstehe ich das!
Vielen Dank schonmal, ich rechne das dann morgen nochmal durch, und werde ja sehen ob ich aufs richtige Ergebnis komme.