[Mathe. Integralrechnung] Aufgabenstellung unklar

[Aurae]

Hallo,

das Rechnen mit Integralen ist ja eigentlich nicht so schwer. Viel schwieriger ist es, das Richtige aus den Aufgabenstellungen herauszulesen, finde ich zumindest. Deshalb meine Frage: Wo liegt die Fläche, die ich nach der folgenden Aufgabenstellung berechnen soll?

Das Schaubild K der Funktion f mit f(x) = x^3-8x^2+12x, die x-Achse und die Geraden mit den Gleichungen x=-2 und x=-1 umschließen eine Fläche. Berechne ihren Inhalt.

[Aldinsys]

In der Aufgabe wurde die Fläche doch schon sehr gut eingegrenzt.
Du hast die Geraden x=-2 und x=-1, die Orthogonal zur X-Achse Laufen. Folglich sind die Grenzen des Integrals -2 (untere Grenze) und -1 (obere Grenze).

Du bestimmst also zunächst die Stammfunktion F.
Dann bestimmst du A= F(-1) - F(-2) und bist fertig.

[Aurae]

Du hast die Geraden x=-2 und x=-1, die Orthogonal zur X-Achse Laufen.
Also entweder meinst du "orthogonal zur y-Achse", "parallel zur x-Achse" oder ich versteh dich nur nicht.
edit: okay, schon okay, ich bin doof. alles klar!

Das Wort "umschließen" in der Aufgabenstellung hat mich etwas durcheinander gebracht. Außerdem hatte ich nen bescheuerten Denkfehler drin und hab die x-Geraden parallel zur x-Achse gezeichnet, weshalb die dann keinen Sinn mehr für mich gemacht haben. Gott, die Aufgabe ist so leicht. Danke, Aldinsys :D

[TheBiber]

Vorsicht: Bestimmte Integrale geben dir stets nur die Flächenbilanz. Hier würdest du eine negative Fläche erhalten, da die Funktion kleiner 0 ist im Bereich von -2 bis -1. Deshalb musst du für die effektive Fläche den Betrag des Integrals nehmen.

Allgemein: Falls die Funktion im Einschränkungsbereich Nullstellen hat, müssen die Flächen unterhalb und oberhalb der Nullstellen zunächst einzeln berechnet und danach deren Beträge addiert werden. Tut man dies nicht, erhält man falsche Resultate.

Berechne z.B. die Fläche der Funktion f(x)=x^3 im Bereich von -1 bis +1. Das Integral wird null werden, da die Flächen sich wegheben. Addiert man die Beträge der einzelnen Flächen von -1 bis 0 und von 0 bis 1, dann erhält man das richtige Resultat 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.

[Aurae]

Ja, das war mir bewusst. Trotzdem danke. :)


Ich nutze dieses Thema gleich mal für eine weitere Aufgabe. Der Ansatz ist mir eigentlich klar, nur sind die Ergebnisse, die ich bekomme, nicht sehr nachvollziehbar für mich. Geht auch weniger um Integrale als mehr um gebrochenrationale Funktionen.

"Eine Autobahntrasse soll bzgl. eines Koordinatensystems den Verlauf des Graphen der Funktion f mit f(x) = x - \frac{1}{x}\,; x>0 (x in km, f(x) in km) erhalten. An der Stelle H(1|1) befindet sich ein Haus, dessen Einwohner die Lärmbelästigung fürchten. Ab einer Entfernung von 300m ist der Lärm erträglich. Haben die Bewohner Grund zu klagen?"

Wenn man den wichtigen Kern der Aufgabenhülle herauszieht, geht es darum, die kürzeste Strecke von H zu einem bestimmten Punkt auf f(x) zu berechnen, nämlich eben jenem, der die Streckenlänge minimiert. Mein Ansatz ging über Pythagoras:

http://npshare.de/files/38/4581/Scannen0003.jpg
d = sqrt{(x_2-1)^2 + (y_2-1)^2}


Für y2 habe ich die Funktionsgleichung eingesetzt und eine neue Funktion d(x) erstellt:
d(x) = sqrt{(x-1)^2 + (x-\frac1x-1)^2}


Diese habe ich abgeleitet und null gesetzt, die Ergebnisse waren x_{e1} = -0.739 und x_{e2} = 1.

Meine Frage ist: Ist xe2 wirklich das Ergebnis? Die kürzeste Strecke von H zu f(x) kann doch nicht die zu P(1|0) sein.

[Dhan]

Kannst nochmal posten, was du als Ableitung raus hast? Hab grad keinen Bock, das auszurechnen ^^
Nach meiner Probeskizze isses nämlich ne sehr knappe Entscheidung ob sie was zu meckern ham

[TheBiber]

Laut meinem CAS müsste die Ableitungsfunktion folgendermassen aussehen:

\frac{dd(x)}{dx}=\frac{2x^4-2x^3-x-1}{x^2\sqrt{2x^4-4x^3+2x+1}}

Die Nullstelle hiervon lässt sich durch Nullsetzen des Zählers finden. Numerisch ergibt sich dann als einzige positive relle Lösung x=1.4215. Das ergibt dann d(x)=0.507, also ungefähr 500 Meter, was heissen würde, dass die Leute nichts zu beklagen haben.

[Aurae]

Okay, alles klar, das Problem lag darin, dass ich im CAS eine Klammer falsch beendet hatte. 1,4215 hab' ich jetzt auch rausbekommen, und die Strecke auch. Vielen Dank, ihr beiden. :)

[Loxagon]

Okay, alles klar, das Problem lag darin, dass ich im CAS eine Klammer falsch beendet hatte. 1,4215 hab' ich jetzt auch rausbekommen, und die Strecke auch. Vielen Dank, ihr beiden. :)

Das ist da Problem bei diesem Thema. An sich ists nicht so schwer, aber die ganzen Klammern ...

[R.D.]

Das ist da Problem bei diesem Thema. An sich ists nicht so schwer, aber die ganzen Klammern ...

Aber die Klammern machen vieles einfacher, bzw. man hat bessere Übersicht finde ich^^

zb, wenn man die nullstellen bei der Gleichung da raus haben will:

f(x)=x³-8x² +12x
f(x)=x(x²-8x+12)

dann hätten wir x1=0

x²-8x+12 kann man dann mit p/q-Formel schnell ausrechnen.

x2=6
x3=2

(korrigier mich einer wenns falsch is, das is grad im Kopf gemacht XD)

[Loxagon]

Ja, EINE Klammer. Aber wenn da nur Klammern sind ... Dann verliert man doch schon den Überblick ;)

[Dhan]

Joa, Klammerwälder können sehr sehr übel werden. Am Schlimmsten ist es, wenn man zum Integrieren Programme benutzt (insbesondere mehrfach verschlungene trigonometrische Teile unter Brüchen etc will man nicht mehr von Hand integrieren), dann muss man nämlich Brüche und vieles mehr als Klammern schreiben - das wird unübersichtlich.

Für Papieraufgaben isses praktisch, wenn man unterschiedliche Klammern verwendet, also z.B. eckige