Frage zu Basiswechsel bei Matrizen

[noRkia]

f: R³->R^4 ist gegeben durch

die darstellende matrix:

1 2 1
3 0 -3
0 1 1
1 1 0

a) geben sie die matrixdarstellung von f bezüglich der basis:

1 0 0
0 1 1 von R³ und
0 0 1

der basis

2 2 1 0
6 0 0 1
0 1 0 0 von R^4
2 1 0 0

an.

(die zahlen stimmen!)

nennen wir nal die darstellende matrix von f einfach F
die r3 basis A und die von r4 B.

wie rechnet man es aus :)

ich weis das bei einer abbildung von zb. R³->R³ die formel von der neuen matrixdarstellung von F folgende ist:

F' = A^-1 * F * A mit A^-1 ist die inverse zu A.

aber was mach ich nun?

ausrechnen brauchts keiner,mich interessiert hauptsächlich die formel mit begründung ^.0

bonus:

b) berechnen sie den kern und das bild von F.

da hab ich beim kern das es nur der nullvektor ist.und was wollen die beim bild?

[TheBiber]

Wenn du einen Vektor x hast und du wendest eine lineare Abbildung mit Matrix A darauf an, dann erhältst du einen neuen Vektor nach y = Ax.

Wenn du nun aber einen Basiswechsel durchführst, entspricht das einer Koordinatentransformation mit einer regulären Transformationsmatrix T. Wendest du diese auf beide Vektoren an, erhältst du: Ty=ATx. Dies lässt sich umformen zu y=T^{-1}ATx, woraus man ablesen kann, dass die neue Abbildung A'=T^{-1}AT ist.

Ach ja, per Definition gehört der Nullvektor nicht in den Kern. Das Bild ist nun einfach die Menge, an Vektoren, die den Bildraum aufspannen, also wenn du eine Abbildung hast und sie auf alle Vektoren x des Definitionsraums anwendest, erhältst du y=Ax. Die Vektoren y spannen dann den Bildraum auf. Bei einer Abbildung vom \mathbb{R}^3 in den \mathbb{R}^4, bei einem leeren Kern müsste glaub ich das Ergebnis ein dreidimensionaler Bildraum sein. Wobei ich mich irren kann, da mich Abbildungen zwischen verschiedenen Dimensionen meist etwas verwirren.

[noRkia]

was du erklärst hab ich verstanden.haben wir auch in der vorlesung so gemacht.
nur kann ich dazwischen und zwischen dem was hier steht:


http://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)

nicht so ganz den zusammenhang herstellen.

"Dazu wird folgendes LGS aufgestellt.......Durch Umformen mit elementaren Zeilenoperationen lässt sich die linke Seite auf die Einheitsmatrix bringen und auf der rechten Seite erhält man die Matrix"

wtf?welche rechte und welche linke seite?,von was reden die denn da?
ich bin nicht so doof das ich nicht wüsste wie man gleichungssysteme löst aber das da ist keine erweiterte koeffizietenmatrix und wenn man links oder rechts von dieser die einheitsmatrix hinschreiben würde und irgendwas umformen wollte würde das nicht gehen weil es sich hier um eine 3X6 matrix handelt.

morgen is die klasur,keine ahnung ob es drankommt ich würd es aber trotzdem nochmal irgendwann verstehen wollen.

[TheBiber]

Offenbar bringen die bei Wikipedia irgendetwas mit der Koeffizientenmatrix durcheinander, ich kapier das Zeugs gerade selbst nicht...

Aber ich versuchs mal selbst zu überlegen: Ich habe eine Basis b_i, i=1,2,3 und eine Basis c_i, i=1,2,3und will daraus die Transformationsmatrix gewinnen. Da ich einen Vektor als Linearkombination der Basisvektoren schreiben kann, kann ich das auch mit einem Basisvektor tun, ich schreibe also alle drei b_i als Linearkombination der c_i, das führt auf:

b_1=\beta_{11}c_1+\beta_{12}c_2+\beta_{13}c_3
b_2=\beta_{21}c_1+\beta_{22}c_2+\beta_{23}c_3
b_3=\beta_{31}c_1+\beta_{32}c_2+\beta_{33}c_3

Wobei jede Zeile natürlich ein ganzes 3x3 Gleichungssystem darstellt und deshalb auch geschrieben werden kann als:

b_i=C\cdot \beta_i

Die Lösung hiervon ist \beta_i=C^{-1}b_i und die Transformationsmatrix entspricht dann einfach den Lösungen dieser 3 Systeme: T=(\beta_{ij}).

Ich hoffe, das macht Sinn, was die bei Wikipedia für ein LGS aufgestellt haben mit einer 3x6 Matrix ist mir ehrlich gesagt schleierhaft momentan.

[noRkia]

naja kam nur in einem kleinen ding vor.1 von 65 punkte ^ ^...und war nur ne 2x2 so das ich einach alles kombinationen ausprobiert hab und es daran gesehen hab hihih