Das Drakes'sche Känguru Thema

[Drakes]

Ich löse zwischendurch ein paar aufgaben von äteren Känguru Tests (Mathe-Wettbewerb) (http://www.mathe-kaenguru.de/).
Natürlich frage ich mich zwischen durch, wie man einzelne Aufgaben bewältigt, daher werde ich wohl noch öfters Fragen hier reinstellen und erhoffe mir dabei natürlich ein paar gute Lösungen. (biber wo bist du ? :D )

Klassenstufe - Jahr - Aufgabe:

11 bis 13 - 1998 - 20:
Welche der folgenden seschsstelligen Zahlen ist stets durch 7 teilbar, egal, welche Ziffern für P und Q (Q != 0) gesetzt werden?
A: QQPPQP B: QPQPQP C: QPQQPP D: QPPQQP E: QQQPPP

Gehe ich richtig in der Annahme, dass B richtig wäre? Habe mir das so überlegt:
Gewichtete Quersumme (http://de.wikipedia.org/wiki/Quersumme#Gewichtete_Quersumme) für 7 und dann muss sich P und Q wegstreichen: 1*Q + 3*P + 2*Q - 1*P - 3*Q - 2*P = 0


11 bis 13 - 1998 - 28:
Die Gleichung 15x^3 - 23x^2 + 8x - 14 = 0 hat die rellen Lösungen \alpha und \beta und \gamma.
Wie gross ist dann (\alpha + 1)(\beta + 1)(\gamma + 1)?

A: 32 B: 14 \over 15 C:4 \over 10 D: 1 \over 3 E: 5 \over 12


Ich hab erlich gesagt keine Ahnung, wir haben in Mathe gerade mal mit Differenzieren angefangen.

[TheBiber]

Den Thread hatte ich erst gar nicht gesehen. ;)

Die erste Aufgabe wird wohl stimmen. Ich kannte aber das Teilbarkeitskriterium für die Zahl 7 nicht. Übrigens, es muss sich nicht wegstreichen, es reicht, wenn man einen Ausdruck erhält, der durch 7 teilbar ist, wobei das hier wohl eher nicht auftreten wird.

Für die zweite Aufgabe muss man nicht differenzieren können. Sie klingt aber ebenfalls danach, dass man da irgendwas wissen muss, mir kommt da irgendwie den Satz von Vieta (http://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_von_Vieta) in den Sinn. Nach ihm gilt folgendes:

\alpha+\beta+\gamma=\frac{23}{15}

\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma= \frac{8}{15}

\alpha\beta\gamma=\frac{14}{15}

Somit hat man ein nichtlineares Gleichungssystem 3. Ordnung. Wenn du dies löst, wirst du auch auf die Lösung kommen. Ansonsten weiss ich auch nicht weiter.

EDIT:

Ich habs: (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) = \alpha\beta\gamma+\alpha\beta+ \alpha\gamma+ \beta\gamma+ \alpha+\beta+\gamma+1 = \frac{14}{15}+\frac{8}{15}+\frac{23}{15}+1 = 4

Irgendwie kommt dieses Ergebnis bei deinen Lösungen aber nicht vor, was im Grunde irritieren kann. Ich habe es aber mit einem CAS überprüft und bin mir sicher, dass dies die richtige Lösung ist, also muss bei diesen Lösungen ein Fehler vorliegen.

[Drakes]

:( Da hab ich doch glatt die Hälfte der Lösungen aus N° 27 abgeschrieben, und jawohl, es gibt bei 28 die Lösung 4 als Auswahl. Also Vielen Dank. :)
Dann, schreib ich die Aufgaben besser nicht mehr ab xP:
11 bis 13 - 1999 (http://www.mathe-kaenguru.de/chronik/aufgaben/downloads/99_1113.pdf) - 7
Die Aufgabe kommt mir eigentlich simpel vor, schaffe es jedoch nicht, auf ein gewünschtes Resultat zu kommen.

[TheBiber]

Hier muss man einfach ergänzen und die binomische Formel anwenden, so dass man die Wurzel ziehen kann:

\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{1+2\sqrt{2}+2} = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = 1+\sqrt{2}

Ist im Endeffekt schon simpel, aber man muss halt erst darauf kommen. Intuition lässt sich irgendwie nicht trainieren, ist eine Sache der Erfahrung.