Frage zu Taylorreihen

[noRkia]

ich versuche mein problem an einem beispiel deutlich zu machen:

augabe:

"gesucht ist das taylorpolynom 3ten grades der funktion f(x)=ln(1+x²),im entwicklungspunkt 0"

also ->

P3(0) = f(0) + f'(0)X + f''(0)x²/2 + f'''(0)x³/6

wenn ich die ableitungen bilde und 0 für a einsetze stehen aber bei der ersten und der 3tten ableitungen nur x faktoren und summanden mit x im zähler.die sind dann natürlich alle = 0.genau wie natürlich f(0).

es bleibt also nur f''(0) und das ist bei mir 2-2x²/(1+x²)² --> 2/1 dann noch geteilt durch 2 und mal x²
...also ist das gesamte taylorpolynom P3(0) = x²

ja damit ist die aufgabe erfüllt,falls das das richtige ergebnis ist.nur was habe ich jetzt eigentlich berechnet?ich meine was sagt dieses ergebnis aus.
habe zwar script und wikipedia gelesen aber das hat nicht viel gebracht ^ ^
ich würde sagen das dieses taylorpolynom nicht mit der funktion übereinstimmt ausser bei 0.und sonst?

[TheBiber]

Die Rechung stimmt, habs mit einem CAS überprüft (nach der letzten Klausur gestern bin ich zu faul, um selbst zu rechnen :D).

Wie du sicher schon weisst, versucht man mit einem Taylorpolynom eine Funktion an einem bestimmten Punkt zu einem bestimmten Grad zu approximieren. Wie du richtig erkannt hast, heisst das überhaupt nicht, dass das Taylorpolynom Punkte mit der Originalfunktion gemeinsam haben muss, mit Ausnahme des Entwicklungspunktes. Was du beim Rechnen tust ist folgendes: Du wählst einen Punkt auf deiner Funktion und erstellst ein Polynom, dass die Funktion möglichst gut annähert. Je höher der Grad des Polynoms, desto besser die Approximation. Lässt man den Grad gegen unendlich gehen, erhält man eine Reihe, die sogenannte Taylorreihe, welche die Funktion selbst wieder darstellt. Doch die Approximation ist immer ungenau.

Hier mal kurz den Funktionsplot:

http://mitglied.lycos.de/thebiber/taylor.gif

Schwarz: f(x)=\ln(1+x^2)
Rot: p_3(x)=x^2

Wie du siehst, stimmen die Kurven in der Nähe des Entwicklungspunktes 0 relativ gut überein, während sie gegen aussen immer weniger übereinstimmen. Würde man den Grad des Polynoms erhöhen, würden die Kurven auch gegen aussen besser übereinstimmen. Doch genau gleich werden sie ausschliesslich im Grenzfall.

Noch etwas zum Sinn des Ganzen: Das Taylorpolynom wird in der Physik und in den Ingenieurswissenschaften exzessive verwendet, um für bestimmte Bereiche komplizierte Funktionen durch einfach zu handhabende Polynome zu ersetzen. Stell dir vor, dein ln(1+x²) wäre der Verlauf einer potentiellen Energie, dessen Ableitung die Kraft und somit die Inhomogenität einer Differentialgleichung zweiten Grades darstellt, zum Lösen ein einziger Horror. Für kleine Auslenkungen aus dem Stabilitätspunkt lässt sich die Funktion so aber als Parabel annähern und die Differentialgleichung ist analytisch deutlich einfacher zu lösen, da die Inhomogenität linear wird.

Würdest du die Funktion an einem anderen Punkt auswerten, hättest du wahrscheinlich ein vollständiges Polynom dritten Grades bekommen. Doch bei speziellen Punkten wie Extremalstellen fallen gezwungenermassen Vorfaktoren weg, da bestimmte Ableitungen null werden.

Da fällt mir noch ein, in der Mathematik gibt es ebenfalls Anwendungen, beispielsweise lässt sich die eulersche Formel e^{i\cdot x}=\cos(x)+i\cdot\sin(x) über die Taylorreihe ziemlich bequem beweisen, also bequem genug für Nicht-Mathematiker. :D

[noRkia]

ok und was ist das jetzt dieser konvergenzradius ^ ^

[TheBiber]

Der Begriff des Konvergenzradius macht eigentlich nur bei unendlichen Reihen einen Sinn, in diesem Fall also, wenn du den Grad des Taylorpolynoms gegen unendlich gehen lässt. Das Problem an Reihen ist ja, dass sie divergieren können. Allgemein hat eine Potenzreihe folgende Form: \sum_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k
Jetzt ist es so, dass für gewisse x die Reihe divergiert und somit an diesen Stellen nicht mehr auswertbar wird. Der Konvergenzradius \rho gibt dir dann den Bereich für die x an, in denen die Reihe konvergiert und ist abhängig von den Vorfaktoren a_k. Der Konvergenzradius berechnet sich nach folgender Formel: \rho=\lim_{k\rightarrow\infty}|\frac{a_k}{a_{k+1}}|
Allerdings ist das Thema schon eine Weile her und ich bin kein Mathematiker, weshalb ich dir die Formel nicht beweisen kann. Ich kann sie höchstens anhand eines Beispiels vorrechnen, am besten nehme ich gleich dein eigenes Beispiel: \ln(1+x^2)

Ich entwickle immer noch um den Punkt 0, dann erhalte ich: p_\infty(0) = \sum_{k=1}^\infty\sin(\frac{k}{2}\pi-\frac{\pi}{2})\frac{2}{k}x^k
Darauf zu kommen ist nicht ganz einfach, man muss die Vorfaktoren durch einen allgemeinen Ausdruck ersetzen können, hier hilft einfach probieren und überlegen, ich brauchte auch einige Zeit. ;)

Jedenfalls sind die Vorfaktoren jetzt gegeben als a_k=\sin(\frac{k}{2}\pi-\frac{\pi}{2})\frac{2}{k}.
Damit lässt sich der Konvergenzradius berechnen, nur ist dieser selbst nicht konvergent, sondern alternierend, da ich jeweils im Zähler und im Nenner abwechslungsweise Nullen bekomme, weil die Potenzreihe ausschliesslich aus geraden Potenzen besteht. In diesem Fall bringt der Konvergenzradius also nicht viel. Allerdings gibt es meines Wissens nach noch andere Möglichkeiten, ihn zu berechnen und ich vermute jetzt einfach mal, dass der Konvergenzradius in diesem Fall gegen unendlich geht, d.h. die Potenzreihe konvergiert für alle reellen x. Aber dies zu zeigen, ist zumindest für mich zu schwer. ;)

[noRkia]

ok danke.langsam steige ich durch.bis zur klausur is noch ne woche,das dürfte reichen ^ ^