Fragen zu Vektorräumen und Matrizen

[noRkia]

mein problem ist:

es gilt:

A = (αij)i,j ∈ Km×n eine (m × n)-Matrix und
f : Kn −→ Km, x−→ Ax

"Wie wir in Abschnitt 3.1 bemerkt
haben, ist A die zu f geh¨orige Matrix, wenn man in Kn und Km jeweils die
aus den Einheitsvektoren bestehende kanonische Basis zugrunde legt"

soweit so klar.aber wie verhält sich das ganze wenn ich eine basis von kn geben hab die eben nicht die standartbasis ist?
gibt es dafür nicht mal ein beispiel?i

2tens:

Homk(V,W) ist die menge aller homomorphismen und auch ein vektorraum (das kann ich auch nachrechnen).
aber was ist denn die basis davon? ist es die identitätsabbildung? (bei automorphismen?)

[TheBiber]

Du packst da auch noch schweres Geschütz auf. :D

Ich hatte zuwenig lineare Algebra, um zu wissen was ein Homomorphismus oder Automorphismus ist. Aber vielleicht kannst du es mir ja erklären?

Zum ersten: Soweit ich mich entsinne, gibt es eine Transformation der Matrix A, wenn man eine andere Basis von Kn als die kanonische Standardbasis wählt. Leider weiss ich nicht mehr genau, wie das mit der Basistransformation geht. Es sollte aber auf eine invertierbare Transformationsmatrix T führen, die auf x angewendet wird, die Abbildung wird dann zu: Tx\rightarrow ATx. Dies kann wieder auf die Standardbasis umgeformt werden x\rightarrow T^{-1}ATx, womit die transformierte Matrix in der alten Basis einfach T^{-1}AT ist.

Ich hoffe mal, das hilft was... wenn es denn überhaupt darum ging, ist schon ewig her.

EDIT:
Ich habe mal kurz was über Homomorphismen gelesen. Bei Vektorräumen handelt es sich hier also um lineare Abbildungen. Diese werden durch Matrizen in Km x n dargestellt und gehorchen tatsächlich den Gesetzen eines Vektorraums. Für eine Basis der Dimension m x n brauchst du mn linear unabhängige Basisvektoren, also Matrizen in diesem Fall. Im einfachsten Fall nimmt man Null-Matrizen und füllt bei jeder Matrix an einer einzigen, aber immer verschiedenen, Stelle eine 1 ein.

Ich erklärs an einem Beispiel: Die Menge der Homomorphismen der Vektorräume K2 und K3 wird durch (2 x 3)-Matrizen beschrieben. Wir brauchen also 6 linear unabhängige Matrizen, wobei alle Matrizen an je verschiedenen Stellen eine 1 haben und sonst überall 0. Damit kann jede beliebige (2 x 3)-Matrix als Linearkombination der Basis geschrieben werden.

Also so stelle ich mir die ganze Sache jedenfalls vor.

Vielleicht hilft die Vorstellung, dass Matrizen formal das gleiche sind wie Vektoren, nur dass ihre Komponenten 2-dimensional, statt in einer Reihe angeordnet sind. Bezogen auf die Homomorphismen besteht die Basis also aus mn linear unabhängigen Abbildungen und nicht bloss aus einer.

[noRkia]

also das mit den matrizen klingt vernüftig.klar das sind ja dann die sog elementar matrizen (dafür waren die also da) ^ ^

das andere muss ich nachher mal überprüfen.

mit dem homomorphismus zeug das dient scheinbar nur der verwirrung,natürlich sind das alles lineare abbildungen sonst mach der ganze vektorraum und basis kram ja keinen sinn -.-

[TheBiber]

Man könnte noch überprüfen, ob die Elementarmatrizen eine kanonische Standardbasis bilden. Dazu müsste man dann ein passendes Skalarprodukt einführen, was wiederum irgendwie über die Norm geht.

Prinzipiell ist aber jede Menge von linear unabhängigen Matrizen eine Basis.

[MagicMagor]

Homk(V,W) ist die menge aller homomorphismen und auch ein vektorraum (das kann ich auch nachrechnen).
aber was ist denn die basis davon? ist es die identitätsabbildung? (bei automorphismen?)
Es gibt zu einem Vektorraum in der Regel mehr als nur eine Basis. Eine Basis ist ja eine Menge linear unabhängigen Vektoren mit denen sich alle Vektoren des Vektorraums darstellen lassen.

Du kannst dir hier zunutze machen, daß jedem Homomorphismus eine Matrix A zugeordnet ist, so das f: V -> W definert ist durch: x |-> Ax
Das bedeutet du kannst jedem Hom. eine Matrix zuordnen und umgekehrt. Es existiert also eine bijektive Abbildung zwischen dem Raum der Homomorphismen und dem Raum der Matrizen der entsprechenden Dimension.
Wenn du nun eine Basis deines Matrizenraumes nimmst und darauf diese bijektive Abbildung anwendest, erhälst du eine Basis des Homomorphismenraums.

Falls ich hier irgend etwas falsche labere, korrigiert mich, eigentlich müsste ich den Kram können =).