Problem bei Extremwertaufgabe

[noRkia]

und zwar ist es so ich glaube ich habe es richtig aber die aufgabe ist einfach falsch gestellt.

http://hodge.mathematik.uni-mainz.de/~stefan/vorlesungen/EHM_Blatt11.pdf

es ist die nr 86 a

ist recht billig,muss nur 1 ableitung bilden,n für x einsetzen kommt bei mir 0 raus,stimmt also.dann noch f"(n) überprüfen das müsste für ein minimum grösser 0 sein.ist es aber nicht.es ist kleiner 0.

was hab ich falch gemacht?!hier meine berechnung:

f'(x) = (nx^n-1 e^-x) - (x^n e^-x)

0 = e^-x ( nn^n-1 - n^n) = e^x ( n^n - n^n) = 0 passt

f"(x) = ((n-1)nx^n-2 e^-x) - (nx^n-1 e^-x) - (nx^n-1 e^-x) +(x^n e^-x)

f"(n)= e^-x ((n-1)n^n-1 - n^n - n^n + n^n )

= e^-x n^n - n^n-1 - n^n

= -e^-x n^n-1


da n > 0 und e^x immer positiv ist f"(n) < 0 tja und dann ist es doch
ein maximum!!


das es als lösung nur x=n gibt hab ich schon bewiesen das nehmen wir hier einfach an!

[TheBiber]

Ich kam aufs gleiche Ergebnis, ist offenbar ein Maximum und kein Minimum. Der entscheidende Term wird bei mir immer negativ. Solche Fehler sollen vorkommen, ich würde da den zuständigen Übungsleiter oder gleich den Prof kontaktieren.

Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass das lokale Maximum auch ein globales ist. :D

[noRkia]

wie macht man das?
ich dachte wenn es nur 1 gibt ist es automatisch global ;/

[Dhan]

Stell dir ma ne Funktion vor, die an sich ständig ansteigt und nur an einer Stelle mal ganz kurz absteigt aber dann eben wieder an.
Das Ding hätte da, wos absteigt, nen lokales Maximum aber kein globales.

Aber wenns ne stetige Funktion is, reichts zu zeigen, dasses nie mehr den gleichen Wert annimmt.

[TheBiber]

Stimmt, du hast gesagt, bei x=n sei der einzige Extrempunkt. Dann wäre der tatsächlich das globale Maximum. Allerdings fehlt noch was: Genaugenommen müsste in der Aufgabenstellung der Definitionsbereich angegeben sein. Die Werte an den Grenzen sind dann automatisch auch Kandidaten für globale Maxima/Minima. Wenn man aber davon ausgeht, dass die Funktion auf ganz \mathbb{R} definiert ist, entfällt dies. Wobei ich ehrlich gesagt nicht weiss, ob definierte Grenzwerte im Unendlichen auch dazuzählen würden (horizontale Asymptoten).