[Mathe] Maximalvolumen Berechnen

[Hero of Happiness]

Ich bin grad echt am verzweifeln. Die nächste Matheklausur rückt immer näher, und mein einziger Anhaltspunkt ist ein Übungszettel voller Aufgaben die ich nicht verstehe.
Es geht zB darum eine Schachtel zu basteln, etwa so:

Klick (http://npshare.de/files/36/7108/kasten.png)

Die länge der Schachtel soll 42 cm betragen, die breite der Schachtel 30 cm.
Vier ecken sind seitlich ausgeschnitten, und man soll die größe der ausgeschnittenen Quadrate berechnen, damit das Volumen maximal wird.

Von schachteln erechnet man ja das Volumen a*b*c, also hier L*B*x, wobei x die höhe, also eine Seitenlänge eines ausgeschnittenen Quadrats darstellt.
Für den Anfang würde das ganze also so aussehen:

L=42-2x, B=30-2x h=x

So, und jetzt? Wie würde man jetzt weiter machen? Ich habe absolut keinen Plan. Wär toll wenn mir jemand 'nen Schubs in die richtige Richtung geben könnte.


Gruß
Jan

[Zelretch]

V = a*b*c /L*B*h
V soll maximal werden. Wenn du die von dir gefundenen Werte:

L=42-2x, B=30-2x h=x
einsetzt erhälst du eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten x.

[Moyaccercchi]

Damit etwas maximal wird, betrachtet man eine Funktion, und dafür muss man alle Ausgangswerte, die man hat, auf einen Wert zurückführen. Das hast du sogar schon getan: Du hast die Ausgangswerte L, B und x, von denen das Volumen deiner Schachtel abhängig ist, und hast für L und B jetzt Terme gefunden, die nur noch x beinhalten. (Also L = 42 - 2x und B = 30 - 2x)
Was du nun als nächstes tun musst, ist die Werte in eine Funktionsgleichung zu packen. Dafür siehst du dir nochmal an, was du eigentlich berechnen willst, und wie du es berechnest: Berechnen willst du das Volumen (und das soll später maximal werden), und das tust du mit der Formel V = L * B * h. Jetzt kannst du deine umgeformten Werte einsetzen (V = (42 - 2x) * (30 - 2x) * x) und das ganze als Funktion auffassen:
V(x) = (42 - 2x) * (30 - 2x) * x
Das kannst du dann noch weiter umformen, musst du aber auch nicht zwingend.
V(x) = (42x - 2x²) * (30 - 2x)
V(x) = 1260x - 60x² - 84x² + 4x³
V(x) = 1260x - 144x² + 4x³
Und jetzt musst du nur noch von deiner entstandenen Zielfunktion - eben V(x) - die Extremstellen berechnen.
Aber dazu schreib ich erstmal nichts, weil du ja nur einen Schubs haben wolltest, und nicht mehr. =P

Verdammt, zu langsam... ^^

[Drakes]

Noch ein Schubs: suche unter Scheitelpunkt, falls du noch nicht selber darauf gekommen bist.

[Hero of Happiness]

Ja, das hilft weiter, danke euch. Ich hatte irgendwie die Klammern vergessen, und ohne Klammern kann man selbige ziemlich schlecht auflösen, und deswegen gings irgendwie nicht weiter...

Hm, für extrema braucht man ja die zweite Ableitung, und muss diese gleich Null setzen, oder?

Also:
V'(x)=12x²-288x+1260=0 | :12
V'(x)=x²-24x+105=0

Wenn ich jetzt mit der p-q-Formel weitermache bekomme ich zwar was raus, eine von den beiden Lösungen ist sogar richtig, aber wie könnte ich denn jetzt entscheiden welches das richtige ist, mal davon abgesehen dass ein Quadrat von 18*18 cm nicht mehr viel vom Blatt übrig lassen würde. Gibts da 'ne mathematische Begründung?

Meine momentanen Lösungen sind

x1=12+6,245=18,245
x2=12-6,245=5,755

Mein Blatt mit den Lösungen sagt 5,76, das scheint also zu stimmen. Interessant wäre halt nur noch obs auch ne mathematische Begründung gibt das kleinere Ergebnis zu wählen.

Edit: Scheitelpunkte sind Extrempunkte oder? Oder hab ich jetzt doch wieder falsch gedacht? X_x

Gruß
Jan

[MrMori]

Du hast ja jetzt 2 Extremstellen ausgerechnet, davon ist eine ein Lokales Maximum und eine ein Minimum. Um herrauszufinden was, was ist, musst du die werte in die zweite Ableitung einsetzen. Ist der f''(x)<0, dann liegt bei X ein Maximum vor, wenn f''(x)>0 ist, dann ists andersrum. (müsstet ihr eigl auch gemacht haben, oder nicht?)

[Hero of Happiness]

Ja, das haben wir schon gemacht, allerdings nur im zusammenhang mit der Kurvendiskussion, und ich bin mir bei sowas nie ganz sicher ob man sowas so ohne weiteres auf andere sachen übertragen kann. Ich sehe irgendwie wenig zusammenhang zwischen einer Kurve und einer Schachtel. Mir fällt es immer schwer sowas von theoretischen auf praktische sachen zu übertragen. So amcht das ganze aber natürlich sinn, und ich bedanke mich bei allen die geholfen haben. Jetzt hab ich zumindest schon bei einer von sieben aufgaben durchgeblickt :)

[TheBiber]

Hm, für extrema braucht man ja die zweite Ableitung, und muss diese gleich Null setzen, oder?

Du hast zwar formal das richtige getan, trotzdem ist die Aussage so falsch, man setzt nämlich die erste Ableitung gleich null. Die zweite Ableitung ist dann wie schon erwähnt zum überprüfen da, ob ein lokales Maximum, Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt.


Ja, das haben wir schon gemacht, allerdings nur im zusammenhang mit der Kurvendiskussion, und ich bin mir bei sowas nie ganz sicher ob man sowas so ohne weiteres auf andere sachen übertragen kann. Ich sehe irgendwie wenig zusammenhang zwischen einer Kurve und einer Schachtel.

Das liegt an der doch eher dürftigen Didaktik im Mathematikunterricht. Kurvendiskussion bedeutet nämlich lediglich, dass man eine Funktion auf deren Eigenschaften untersucht, eben die lokalen Extremalstellen oder die Nullstellen zu suchen. Anwenden kann man dies dann in den unterschiedlichsten Bereichen, beispielsweise überall dort wo etwas maximales gesucht wird. Und das Maximieren des Volumens einer Schachtel gehört ebenso dazu wie das Optimieren von Produktionsfunktionen in der Wirtschaftstheorie oder wenn in der Physik der zeitliche Umkehrpunkt einer Geschwindigkeit gesucht ist (Ableitung der Geschwindigkeit = Beschleunigung), oder wenn man die Leistung einer elektrotechnischen Schaltung maximieren will durch Wahl eines geeigneten Widerstandes, usw. Kurvendiskussion kommt so ziemlich in allen formaleren Wissenschaften (Naturwissenschaften, Wirtschaft, Ingenieurwesen) vor und ist deshalb ein Kernthema der Schulmathematik. Man muss sich einfach bewusst sein, wozu man sie verwenden kann und dies wird in der Schule leider kaum bis gar nicht wirklich erklärt. Am einfachsten stellt man sich Mathematik als ein abstraktes Werkzeug vor, dann wird man weniger Probleme haben, sie auf ein beliebiges Gebiet übertragen zu können.


Edit: Scheitelpunkte sind Extrempunkte oder? Oder hab ich jetzt doch wieder falsch gedacht? X_x

Scheitelpunkt nennt man den Extrempunkt einer Parabel, also einer Funktion zweiten Grades oder quadratischen Funktion.. Deine ursprüngliche Funktion ist aber eine Funktion dritten Grades (d.h. es kommt maximal ein hoch drei vor), und deshalb keine Parabel, weshalb die Suche nach einem Scheitelpunkt hier eher irreführend ist.

[Zelretch]

Scheitelpunkt nennt man den Extrempunkt einer Parabel, also einer Funktion zweiten Grades oder quadratischen Funktion.. Deine ursprüngliche Funktion ist aber eine Funktion dritten Grades (d.h. es kommt maximal ein hoch drei vor), und deshalb keine Parabel, weshalb die Suche nach einem Scheitelpunkt hier eher irreführend ist.

Und ich denke mal bei einem geschlossenem Intervall müsste man auch die Randbereiche überprüfen?

[TheBiber]

Und ich denke mal bei einem geschlossenem Intervall müsste man auch die Randbereiche überprüfen?

Theoretisch müsste man, in der Praxis entfällt dies aber je nach Anwendung. Bei der Schachtel würde man am Rand gar kein Volumen mehr erhalten, weshalb man diese Überlegung vernachlässigen kann. Und wenn, hätte man sowieso nur lokale Minima, nach denen hier nicht gesucht ist. Andererseits kann man mit Randüberlegungen auch entscheiden, ob x1 oder x2 die Lösung ist ohne die zweite Ableitung zu berechnen. Setzt man nämlich x1 = 18.245 ein, würde man beispielsweise eine negative Breite erhalten, was hier schlicht keinen Sinn machen würde.

Allerdings kann ich deine Frage nicht ganz mit meinem Zitat in Einklang bringen. Falls es um die Exaktheit geht: Bei einem beidseitig offenen Intervall ist der Extrempunkt einer quadratischen Funktion der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel.

[Zelretch]

Allerdings kann ich deine Frage nicht ganz mit meinem Zitat in Einklang bringen. Falls es um die Exaktheit geht: Bei einem beidseitig offenen Intervall ist der Extrempunkt einer quadratischen Funktion der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel.

Ja, mir gieng es nur daum dass Extrempunkte nicht zwingend das Maximum sind. Eigentlich hat das Zitat überhaupt nichts damit zu tun, ich muss wohl beim Tippen an irgendetwas anderes gedacht haben.

[TheBiber]

Nicht zwingend, das stimmt. Extrempunkte sind entweder lokale Maxima oder lokale Minima. Wenn mans noch genauer nimmt, sind Punkte, deren erste Ableitung gleich null ist, nicht mal zwingend Extrempunkte, sondern erstmal nur kritische Punkte, da Sattelpunkte ebenfalls nicht ausgeschlossen sind und diese sind gemäss Definition keine Extrempunkte.

[Hero of Happiness]

Ich merke grade, mein größtes Problem ist wirklich immer auf 'ne quadratische Gleichung zu kommen. Ich hab mich jetzt an folgender Aufgabe vom Übungsblatt versucht:

"Aus 1200 cm² Blech soll ein zylindrischer, oben offener Behälter maximalen Volumens geformt werden. Welche Maßer r und h erhält der Zylinder?" (r ist wohl der radius, h die höhe)

Ich würde so anfangen:

V = PI * r² * h (Das ist die Formel fürs volumen von einem Zylinder, oder?)

1200 cm² müsste ja dann der Flächerinhalt sein, also:

1200 cm² = (PI * r²) + (2 * PI * r * h) (Gehören die Klammern hier eigentlich drum?)

Ausklammern kann ich jetzt ja nicht, sa müsste ja ein Multiplikationszeichen zwischenstehen, oder? Meine grundsätzliche Idee wäre nach irgendwas aufzulösen, und dann einzusetzen um so überflüssige Variablen vorerst zu eliminieren, und dann Schritt für Schritt alle auszurechnen um auf meine quadratische gleichung zu kommen, und normal wie bei der Kurvendiskussion den Extremwert auszurechnen. Mal wieder weiß ich aber nicht wirklich wie ich weitermachen soll.

Wär' toll wenn nochmal jemand helfen könnte ._.

Gruß

[Dhan]

Probier doch einfach ma, die zweite Gleichung nach h aufzulösen und in die erste einzusetzen.
Müsste was vom Grad 4 rauskommen (das du prima nach Extremstellen untersuchen kannst)

Das Ergebnis müsste sein, dass der Radius so in etwa 4,6 cm beträgt, jedenfalls nach meinem Überschlag, zum Vergleichen (hab mir aber nicht wirklich viel Zeit genommen ^^)

[TheBiber]

Ich merke grade, mein größtes Problem ist wirklich immer auf 'ne quadratische Gleichung zu kommen.

Die Gleichung muss nicht zwingend quadratisch sein. Denn darum gehts hier nicht unbedingt.


Wär' toll wenn nochmal jemand helfen könnte ._.

Grundsätzlich: Wenn du mehrere Gleichungen hast, deren Unbekannten voneinander abhängen, dann versuche eine Unbekannte, die du vorerst nicht benötigst, zu eliminieren, indem du eine Gleichung nach dieser auflöst und dessen Ausdruck du in der anderen Gleichung einsetzt.

In diesem Fall hast du zwei Gleichungen und zwei Unbekannte. Mit genanntem Verfahren lässt sich dieses System auf eine einzige Gleichung mit einer Unbekannten reduzieren. Also eine der Gleichungen nach einer Unbekannten, konkret r oder h auflösen und diesen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzen. Am besten eliminerst du die zweite Gleichung, da du ja das Volumen maximieren willst.

[Hero of Happiness]

So, nach ewigem gefriemele hab ichs jetzt hinbekommen. Danke nochmal für die hilfestellungen. Ich hoffe ja mal die Aufgaben in der Klausur werden einfacherer, immerhin sind wir ein Grundkurs, und das war angeblich ein LK Arbeitsblatt ._.