Mathe 12. Klasse BITTE UM HILFE!

[thickstone]

So, wir schreiben Montag eine Klausur zum Thema ,,Berechnung von Vektorenabständen - und längen''.

Was ich da nicht wirklich verstehe, ist die Hesse-Normalform.

Ich weiß, dass sie null ergeben muss, weil sie so gesehen alle Punkte einer Gerade beschreibt, deren Abstand zu g 0 ist (was IMO schwachsinnig ausgedrückt ist, warum sagt man nicht: ,,Alle Punkte, die auf g liegen.''?). Wenn das nicht so wäre, dann wäre g auch nicht orthogonal zur Normalen und damit geht das ganze auch nicht...(...richtig?)

Und nun ergibt sich das Problem, wie man den ganzen Kram anwendet. Ich habe keine Ahnung und weiß auch nicht, was mir die Normalform berechnungstechnisch überhaupt bringt.

Hilfe wäre echt super, auch nicht so kompliziert ausgedrückt - ich bin nicht so der Mathefreak.... ;)

[Heaven and Hell]

Hi, ich versuchs mal ;-)

Die Hesse-Normalenform gilt für Ebenen, und so wie du es geschrieben hast, ist es ziemlich falsch, sorry ;-)

Also, ganz allgeimein ist die Hesse-Normalform einer Ebene wie folgt definiert:
E:\ \vec n \vec x=d, wobei n der Einheitsnormalenvektor und d (größer gleich 0) der Abstand der Ebene vom Ursprung sind.

oder als Koordinatendarstellung: E:\ ax_1+bx_2+cx_3=d, wobei a,b,c die Komponenten des "Einheits"normalenvektors sind und d (wie oben) der abstand vom Ursprung.

Vllt mal ein Beispiel: du hast eine Ebene in Parameterdarstellung gegeben: E_1:\ \vec x= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Aus den Richtungsvektoren erhält man mithilfe des Vektorprodukts (s. Wikipedia, in der Shcule macht man es glaub noch mit nem kleinen Gleichungssystem, ich finde aber Vektorprodukt bequemer) den Normalenvektor \vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

Damit kann man jetzt die Ebene in Koordinatendarstellung schonmal halbwegs aufstellen: E:\ 1*x_1+1*x_2-1*x_3=u. Die Konstante u erhält man durch einsetzen des Stützpunktes der Ebene: 1*1+1*0-1*0=u=1
Also lautet die Ebene in Koordinatendarstellung: E_1:\ x_1+x_2-x_3=1

So, der Rest ist eigentlich ziemlich einfach. Nun teilst du die gesamte Ebenengleichung einfach durch den Betrag des Normalenvektors. Dieser ist: \left | n \right |= sqrt{(1^2+1^2+(-1)^2)}= sqrt{3}.

Das macht ganz am Ende für die Hesse-Normalform für E_1:
{\color {blue} E_1:\ \frac{1}{sqrt{3}}x_1+ \frac{1}{sqrt{3}}x_2- \frac{1}{sqrt{3}}x_3\ = \frac{1}{sqrt{3}}

Daraus erkennt man jetzt z.B., dass diese Ebene den Abstand 1/Wurzel3 vom Ursprung hat.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen ;-)

[thickstone]

gecheckt 8) ei laff ju vor sis!

[Heaven and Hell]

Hab noch ne Kleinigkeit editiert, bei der 2. TeX-Formel meinte ich mit a,b,c die komponenten des Einheitsnormalenvektors.

Und ganz unten ist es (für mathematiker ;-) ) unschön, 1 durch wurzel3 stehen zu lassen. Die wollen den Nenner rational haben, also Wurzel3-Drittel. (sorry, bin zu faul es als Code einzugeben ;-) )