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[Merovinger]

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[TheBiber]

Ich verstehe zwar nicht, was du meinst, aber ich erkläre dir jetzt einfach die Bedeutung der zweiten Ableitung: Sie gibt mal so ganz abstrakt gesagt an, ob die Funktion konkav oder konvex im jeweiligen Punkt ist.

Die erste Ableitung besagt ja, ob die Funktion steigt (positive Ableitung), fällt (negative Ableitung) oder einen Flachpunkt besitzt (Ableitung = 0).

Die zweite Ableitung besagt, ob die Funktion konvex, das heisst nach links gekrümmt ist (zweite Ableitung positiv) oder ob sie konkav, das heisst nach rechts gekrümmt ist (zweite Ableitung negativ) oder ob die Funktionen einen Wendepunkt besitzt, das heisst, dort, wo sie sich vom konkaven ins konvexe oder umgekehrt wird (zweite Ableitung = 0).

Falls die erste Ableitung = 0 ist, dann bedeutet eine positive zweite Ableitung das Vorhandensein eines lokalen Minimums (da sie dort flach und nach links gekrümmt ist), eine negative zweite Ableitung entspricht dann einem lokalen Maximum (flach, aber nach rechts gekrümmt). Sind beide Ableitungen = 0, dann befindet sich dort ein Sattelpunkt, was nichts anderes als ein spezieller Wendepunkt ist.

Am besten wären einige Beispiele zur Erläuterung, optimal wären Aufgaben, die zur Klausur passen, hast du davon welche?

[Zerwas]

Die 2. Ableitungsfunktion gibt an, wie stark die ursprüngliche Funktion gekrümmt ist. Die 2. Ableitung einer Graden z.B. hat überall den Wert 0, da die Funktion gar keine Krümmungen hat. Aus dem Vorzeichen der zweiten Ableitung an einer bestimmten Stelle kannst du schließen, ob die Funktion rechts- oder linksgekrümmt ist.

edit: Bäh, slow xD

[Merovinger]

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[Layton]

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warum? so weit ich das geschnallt hab nur bei x und x^2. bei x^3 zb ist
f ''(x) = 6

Weil nur Funktionen ersten Grades (y=kx+d) Geraden sind. Funktionen des zweiten Grades zum Beispiel sind Parabeln.

[Merovinger]

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[TheBiber]

nö wir hatten bisher nur die 1.ableitung

k... das hab ich verstanden, wenn rechts gekrümmt eine negatieve steigung und links gekrümmt eine positive steigung bedeutet.
wenn kenn konkav ist dann müsste bei der ableitung ein negatieves m(steigung) rauskommen
konvex ==> positieves m

Hmm, formal klingt das etwas seltsam...

Aber ich mach ein paar Beispiele: Die Funktion f(x):=x^3+x hat die Ableitung f'(x)=3x^2+1 und die zweite Ableitung f''(x)=6x. Für x<0 ist f''(x)<0, das heisst, der Graph von f(x) weist links der y-Achse eine Rechtskrümmung auf. Analog ist für x>0 f''(x)>0, das heisst, der Graph ist dort linksgekrümmt. Für x=0 ist auch f''(x)=0, dort befindet sich also ein Wendepunkt.



das hab ich jetzt noch nicht verstanden bin ich hab noch drann....

Ok, das geht so: Nehmen wir wieder irgendne Funktion: f(x):=x^3-2x^2+x-1. Die erste Ableitung ist f'(x)=3x^2-4x+1 und die zweite Ableitung ist f''(x)=6x-4. Mögliche Extremstellen erhält man, wenn man die erste Ableitung null setzt: 3x^2-4x+1=0. Diese quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen x_1=\frac{1}{3} und x_2=1. Diese beiden Lösungen werden nun in die zweite Ableitung eingesetzt: f''(x_1)=-2 und f''(x_2)=2 es handelt sich also je um ein lokales Maximum und um ein lokales Minimum.


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warum? so weit ich das geschnallt hab nur bei x und x^2. bei x^3 zb ist
f ''(x) = 6

Eine Gerade hat allgemein die Form f(x):=ax+b, die erste Ableitung ist f'(x)=a, das heisst, nur wenn a=0 ist, ist die Gerade "flach", d.h. parallel zur x-Achse. Die zweite Ableitung ist f''(x)=0, womit gezeigt ist, dass eine Gerade keine Krümmungen aufweist.

Ach ja, um noch auf die Fehler hinzuweisen:
Die zweite Ableitung von f(x):=x^2 ist f''(x)=2, hat also eine konstante Krümmung.
Die zweite Ableitung von f(x):=x^3 ist f''(x)=6x.

[dead_orc]

aber an sonsent wo für brauch ich so was irgent wann einmal^^(frage ohne klärungsbedarf)

Ich beantworte es dir trotzdem einfach mal. Wenn du z.B. ein Maximum ermitteln möchtest (was durchaus auch in der Realität praktisch sein kann!), setzt du ja die erste Ableitung gleich 0. Die Stellen, an denen f'(x)=0 ist, können aber sowohl Maxima, Minima als auch Sattelpunkte (also Punkte, an denen die Funktion vorher und hinterher steigt bzw. fällt und nur kurz waagerecht verläuft) sein. Um festzustellen, welcher dieser Fälle nun vorliegt, benutzt man die zweite Ableitung. Außerdem ermittelst du Punkte maximaler Steigung mit der zweiten Ableitung (weil sie da ja gerade die Krümmungsrichtung ändern und deshalb keine Krümmung haben).